자연계열 (오후) 4번

(4-1) (10점) $\displaystyle x<-1,\ x\ge\frac12$일 때 $\displaystyle f(x)\ge0$이고, $\displaystyle -1<x<\frac12$일 때 $\displaystyle f(x)<0$이므로

$\displaystyle f(f(x))=\begin{cases}2(-x-1)-1=-2x-3&(x\le-1)\\-(-x-1)-1=x&(-1<x<0)\\-(2x-1)-1=-2x&(0\le x<\frac12)\\2(2x-1)-1=4x-3&(x\ge\frac12)\end{cases}$이다. 그림은 다음과 같다.

(4-2) (10점) $\displaystyle a_4-a_6=a_4-f(f(a_4))$이다. $\displaystyle y=(f\circ f)(x)$의 그래프 위의 점 $\displaystyle (x,y)$ 중에서 $\displaystyle x-y$의 값을 최대로 하는 점은 $\displaystyle (\frac12,-1)$이다. 이때 최댓값은 $\displaystyle \frac32$이다.$\displaystyle a_4=(f\circ f)(a_2)=\frac12$은 $\displaystyle a_2=-\frac74$ 또는 $\displaystyle \frac78$일 때 얻어지는데, $\displaystyle a_2=-\frac74$은 불가능하므로 $\displaystyle a_2=\frac78$이다. 즉 $\displaystyle k=-\frac{15}8$ 또는 $\displaystyle \frac{15}{16}$일 때이다.

(4-3) (10점)(1) $\displaystyle k>1$이면 $\displaystyle b_n=a_{2n-1}$은 점화식 $\displaystyle b_1=k,\ b_{n+1}=4b_n-3$을 만족하므로$\displaystyle b_n=1+(k-1)4^{n-1}$이다. 따라서 $\displaystyle \{a_{2n-1}\}$은 발산한다.(2) $\displaystyle k=1$일 때, $\displaystyle a_n=1$ ($\displaystyle n\ge2$)이므로 $\displaystyle \{a_n\}$과 $\displaystyle \{a_{2n-1}\}$은 모두 수렴한다.(3) $\displaystyle 0<k<1$일 때, 충분히 큰 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle -1\le a_n\le0$이다. 이 때 $\displaystyle a_{n+1}=-a_n-1$은 $\displaystyle -1\le a_{n+1}\le0$을 만족하므로 $\displaystyle a_{n+2}=-a_{n+1}-1=a_n$이다. 그러므로 $\displaystyle \{a_{2n-1}\}$은 항상 수렴하지만, $\displaystyle \{a_n\}$은 어떤 $\displaystyle N$에 대해 $\displaystyle a_N=-\frac12$일 때만 수렴한다.(a) $\displaystyle 0<k\le\frac12$일 때, $\displaystyle -1<f(k)\le0$이고, 이 중 $\displaystyle f(k)=-\frac12$이 되는 $\displaystyle k$의 값은 $\displaystyle k=\frac14$이다. 즉, $\displaystyle \{a_n\}$이 수렴하는 $\displaystyle k$의 값은 $\displaystyle k=\frac14$뿐이다.(b) $\displaystyle \frac12<k\le\frac34$일 때, $\displaystyle 0<f(k)\le\frac12$이고, 이 중 $\displaystyle \{a_n\}$이 수렴하는 $\displaystyle k$는 $\displaystyle f(k)=\frac14$을 만족하는 $\displaystyle k=\frac58$뿐이다.(c) 이 작업을 반복하면, $\displaystyle 0\le k<1$일 때, $\displaystyle \{a_n\}$이 수렴하는 $\displaystyle k$의 값은$\displaystyle 1-\frac3{2^{n+1}}\quad(n=1,2,3,\cdots)$이다.따라서, $\displaystyle \{a_n\}$은 발산하지만 $\displaystyle \{a_{2n-1}\}$은 수렴하는 $\displaystyle k>0$는 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 다음 집합을 제외한 부분이다.$\displaystyle \left\{\frac14,\frac58,\cdots,1-\frac3{2^{n+1}},\cdots\right\}$그러므로 문제의 조건을 만족하는 열린구간은 $\displaystyle \left(\frac14,\frac58\right)$이다.