인하대 2015학년도 수시 자연계열 4번 해설

좌표평면에 $\displaystyle n$ 개의 점 $\displaystyle A_1,A_2,\cdots,A_n$ 이 있을 때, $\displaystyle n$ 개의 선분 $\displaystyle A_1A_2,A_2A_3,\cdots,A_{n-1}A_n,A_nA_1$ 로 둘러싸인 영역을 생각할 수 있다. 다음 그림은 이러한 영역에 색칠한 몇 개의 예이다.

(※) 좌표평면의 한 점 $\displaystyle P$ 를 원점을 중심으로 $\displaystyle \alpha$ 만큼 회전한 점을 $\displaystyle f_\alpha(P)$ , 원점을 중심으로 $\displaystyle \beta$ 만큼 회전한 점을 $\displaystyle f_\beta(P)$ 라 할 때, 일차변환 $\displaystyle f$ 는 $\displaystyle P$ 를 점 $\displaystyle f_\alpha(P)+f_\beta(P)$ 로 옮기는 변환이다. (단, $\displaystyle \frac\pi2<\alpha<\beta<\frac{3\pi}2$ 이다.)

(4-1) 일차변환 $\displaystyle f$ 를 나타내는 행렬은 $\displaystyle k\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\qquad(k>0,\ 0\le\theta<2\pi)$ 로 나타낼 수 있다. 이때, $\displaystyle k$ 와 $\displaystyle \theta$ 를 각각 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 의 식으로 표현하시오. (10점)

(4-2) 점 $\displaystyle P_1(1,0)$ 에 대하여 $\displaystyle P_{n+1}=f^n(P_1)=(\underbrace{f\circ f\circ\cdots\circ f}_{f\text{가 }n\text{개}})(P_1)$ ( $\displaystyle n=1,2,3,\cdots$ )이라 하자. 일차변환 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle P_1=f^7(P_1)$ 을 만족할 때, 선분 $\displaystyle P_1P_2,P_2P_3,P_3P_4,P_4P_5,P_5P_6,P_6P_7,P_7P_1$ 로 둘러싸인 영역의 넓이가 최소가 되도록 하는 $\displaystyle \alpha,\beta$ 의 값을 모두 구하시오. (15점)

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10 · (4-1)

(4-1) (10점) 그림으로 분석하면 다음과 같다.

위 그림으로부터 일차변환 $\displaystyle f$ 의 회전각과 $\displaystyle k$ 는 다음으로 주어진다. $\displaystyle \theta=\alpha+\frac{\beta-\alpha}2=\frac{\alpha+\beta}2$ 이고 $\displaystyle k=2\overline{OA}=2\cos\left(\frac{\beta-\alpha}2\right)$

15 · (4-2)

(4-2) (15점) $\displaystyle \frac\pi2<\alpha<\beta<\frac{3\pi}2$ 일 때, $\displaystyle 0<\frac{\beta-\alpha}2<\frac\pi2<\frac{\alpha+\beta}2<\frac{3\pi}2$ 이다. $\displaystyle f(P)=2\cos\left(\frac{\beta-\alpha}2\right)\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}P$ 에서 조건 $\displaystyle f^7(P)=P$ 를 만족하려면, $\displaystyle 2^7\cos^7\left(\frac{\beta-\alpha}2\right)=1\quad\Rightarrow\quad\cos\left(\frac{\beta-\alpha}2\right)=\frac12\quad\Rightarrow\quad\frac{\beta-\alpha}2=\frac\pi3,$ $\displaystyle 7\theta=2n\pi\quad\Rightarrow\quad\theta=\frac{\alpha+\beta}2=\frac{2n\pi}7\quad(n=2,3,4,5)$ 이다.

이 중에서 주어진 영역의 넓이가 최소가 되게 하는 것은 $\displaystyle \begin{cases}\dfrac{\beta-\alpha}2=\dfrac\pi3\\[6pt]\dfrac{\alpha+\beta}2=\dfrac67\pi,\ \dfrac87\pi\end{cases}$ 이다. 따라서 $\displaystyle 0<\alpha<\beta<2\pi$ 범위에서 가능한 값은 $\displaystyle \begin{cases}\alpha=\dfrac{11}{21}\pi\\[4pt]\beta=\dfrac{25}{21}\pi\end{cases}\quad\text{와}\quad\begin{cases}\alpha=\dfrac{17}{21}\pi\\[4pt]\beta=\dfrac{31}{21}\pi\end{cases}$ 이다.

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자연계열 4번

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