자연계열 4번

(4-1) (10점) 그림으로 분석하면 다음과 같다.

위 그림으로부터 일차변환 $\displaystyle f$의 회전각과 $\displaystyle k$는 다음으로 주어진다.$\displaystyle \theta=\alpha+\frac{\beta-\alpha}2=\frac{\alpha+\beta}2$이고 $\displaystyle k=2\overline{OA}=2\cos\left(\frac{\beta-\alpha}2\right)$

(4-2) (15점) $\displaystyle \frac\pi2<\alpha<\beta<\frac{3\pi}2$일 때, $\displaystyle 0<\frac{\beta-\alpha}2<\frac\pi2<\frac{\alpha+\beta}2<\frac{3\pi}2$이다.$\displaystyle f(P)=2\cos\left(\frac{\beta-\alpha}2\right)\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}P$에서 조건 $\displaystyle f^7(P)=P$를 만족하려면,$\displaystyle 2^7\cos^7\left(\frac{\beta-\alpha}2\right)=1\quad\Rightarrow\quad\cos\left(\frac{\beta-\alpha}2\right)=\frac12\quad\Rightarrow\quad\frac{\beta-\alpha}2=\frac\pi3,$$\displaystyle 7\theta=2n\pi\quad\Rightarrow\quad\theta=\frac{\alpha+\beta}2=\frac{2n\pi}7\quad(n=2,3,4,5)$이다.

이 중에서 주어진 영역의 넓이가 최소가 되게 하는 것은$\displaystyle \begin{cases}\dfrac{\beta-\alpha}2=\dfrac\pi3\\[6pt]\dfrac{\alpha+\beta}2=\dfrac67\pi,\ \dfrac87\pi\end{cases}$이다. 따라서 $\displaystyle 0<\alpha<\beta<2\pi$ 범위에서 가능한 값은$\displaystyle \begin{cases}\alpha=\dfrac{11}{21}\pi\\[4pt]\beta=\dfrac{25}{21}\pi\end{cases}\quad\text{와}\quad\begin{cases}\alpha=\dfrac{17}{21}\pi\\[4pt]\beta=\dfrac{31}{21}\pi\end{cases}$이다.