수학과학우수자 1번

(1-1) 직선 $\displaystyle l$의 $\displaystyle y$절편을 $\displaystyle k$라 하면, 원과 직선 $\displaystyle l:mx-y+k=0$이 접하므로 원의 중심 $\displaystyle (1,0)$에서 직선 $\displaystyle l$ 사이의 거리가 반지름 1과 같다. 즉 $\displaystyle \frac{|m+k|}{\sqrt{m^2+1}}=1$이다. 이로부터 $\displaystyle k=-m\pm\sqrt{m^2+1}$을 얻는데, $\displaystyle k>0$이므로 직선 $\displaystyle l$의 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle -m+\sqrt{m^2+1}$이다.

(1-2) 넓이 $\displaystyle S_\theta$는 선분 $\displaystyle AB$가 원 $\displaystyle O_\theta$의 중심에 가까워질수록 커진다. 원 $\displaystyle O_\theta$의 중심 $\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)$는 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 위를 움직인다. 이 점이 선분 $\displaystyle AB$와 가장 가까울 때는 이 점에서 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$의 접선의 기울기가 $\displaystyle m$일 때이다. 넓이 $\displaystyle S_\theta$가 최대일 때의 $\displaystyle \theta$를 $\displaystyle \alpha$라 하면, 아래 그림으로부터 $\displaystyle \tan\alpha=-\frac1m$이다.

(1-3) 원 $\displaystyle O_\theta$의 중심 $\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)$과 직선 $\displaystyle l:mx-y+k=0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \theta>0$일 때 문제 (1-1)의 풀이에 의해 $\displaystyle \frac{|m\cos\theta-\sin\theta+k|}{\sqrt{m^2+1}}$ (여기서 $\displaystyle k=-m+\sqrt{m^2+1}$)이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\left\{\frac12f(\theta)\right\}^2&=1-\frac{(m\cos\theta-\sin\theta+k)^2}{m^2+1}\\&=\frac{(m^2-1)\sin^2\theta+2km(1-\cos\theta)+2m\sin\theta\cos\theta+2k\sin\theta}{m^2+1}\end{aligned}$이다. 제시문 (나)에 주어진 삼각함수의 극한 정리를 사용하면 다음을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}&\lim_{\theta\to+0}\frac{\{f(\theta)\}^2}{\theta}\\&=\frac4{m^2+1}\lim_{\theta\to+0}\left(\frac{(m^2-1)\sin^2\theta+2km(1-\cos\theta)+2m\sin\theta\cos\theta+2k\sin\theta}{\theta}\right)\\&=\frac4{m^2+1}(2m+2k)=\frac8{\sqrt{m^2+1}}\quad(\because m+k=\sqrt{m^2+1})\end{aligned}$