자연계열 2번

(2-1) (5점) 점 $\displaystyle (t,(t^2-3)^2)$에서 $\displaystyle f(x)$의 그래프에 접하는 접선의 방정식은$\displaystyle y=t^4-6t^2+9+(4t^3-12t)(x-t)$이다. 직선이 점 $\displaystyle P(a,b)$를 지나므로$\displaystyle b=t^4-6t^2+9+(4t^3-12t)(a-t)$이 성립한다.

(2-2) (10점) 편의상$\displaystyle g(t)=3t^4-4t^3-6t^2+12t+b-9$라 두자. 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서 $\displaystyle f(x)$의 그래프에 접하는 접선이 점 $\displaystyle P(1,b)$를 지날 때, $\displaystyle t$는 방정식 $\displaystyle g(t)=0$의 실근이다. 접선의 개수를 구하기 위해 $\displaystyle t$의 방정식 $\displaystyle g(t)=0$의 서로 다른 실근의 개수를 파악한다. 이를 위해 $\displaystyle g(t)$의 그래프의 개형을 그려본다.$\displaystyle g^{\prime}(t)=12t^3-12t^2-12t+12=12(t+1)(t-1)^2$이므로 $\displaystyle t<-1$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(t)<0$이고, $\displaystyle t\in(-1,1)\cup(1,\infty)$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(t)>0$이다. 그리고$\displaystyle \lim_{t\to-\infty}g(t)=\infty=\lim_{t\to\infty}g(t)$이다. 따라서 방정식 $\displaystyle g(t)=0$의 서로 다른 실근의 수는$\displaystyle b-20=g(-1)<0$일 때 2개,$\displaystyle b-20=g(-1)=0$일 때 1개,$\displaystyle b-20=g(-1)>0$일 때 0개이다.이제 서로 다른 접점에서 하나의 접선이 생기는 경우를 찾자. 서로 다른 두 점 $\displaystyle P(t_1,(t_1^2-3)^2)$와 $\displaystyle Q(t_2,(t_2^2-3)^2)$에서 $\displaystyle f(x)$의 그래프에 접하는 접선의 방정식은 각각$\displaystyle y=(4t_1^3-12t_1)x-3t_1^4+6t_1^2+9,\qquad y=(4t_2^3-12t_2)x-3t_2^4+6t_2^2+9$이다. 두 직선이 같은 경우는 기울기와 $\displaystyle y$절편이 모두 같을 때이다. 즉,$\displaystyle t_1^3-3t_1=t_2^3-3t_2$이고 $\displaystyle t_1^4-2t_1^2-3=t_2^4-2t_2^2-3$일 때이다. 이 방정식을 다시 쓰면$\displaystyle (t_1-t_2)(t_1^2+t_1t_2+t_2^2-3)=0\qquad\text{---------- (1)}$$\displaystyle (t_1-t_2)(t_1+t_2)(t_1^2+t_2^2-2)=0\qquad\text{---------- (2)}$이다. $\displaystyle t_1\ne t_2$이므로 등식 (2)로부터 $\displaystyle t_2=-t_1$이거나 $\displaystyle t_1^2+t_2^2=2$이다. $\displaystyle t_1^2+t_2^2=2$이면 등식 (1)에 의해$\displaystyle 0=t_1^2+t_1t_2+t_2^2-3=t_1t_2-1$이다. 따라서 $\displaystyle t_1^2+\frac1{t_1^2}=2$ ($\displaystyle t_1\ne0$)이고, 이를 풀면 $\displaystyle t_1=t_2=\pm1$이 되어 $\displaystyle t_1\ne t_2$임에 모순이다. 그러므로 $\displaystyle t_2=-t_1$이다. 이를 등식 (1)에 대입하면$\displaystyle 0=t_1^2+t_1t_2+t_2^2-3=t_1^2-3$이 되어 $\displaystyle t_1=\pm\sqrt3,\ t_2=\mp\sqrt3$이다. 따라서 점 $\displaystyle (1,b)$를 지나고 $\displaystyle f(x)$의 그래프에 접하는 직선이 서로 다른 두 접점을 가질 때, 접점은 $\displaystyle (\pm\sqrt3,0)$이고 접선의 방정식은 $\displaystyle y=0$이다. 이 경우는 $\displaystyle b=0$일 때이다. 그러므로 구하려는 (서로 다른) 접선의 개수는(i) $\displaystyle b<0$이거나 $\displaystyle 0<b<20$이면 2개,(ii) $\displaystyle b=0$이거나 $\displaystyle b=20$이면 1개,(iii) $\displaystyle b>20$이면 0개이다.

(2-3) (10점) 편의상$\displaystyle G(t)=3t^4-4at^3-6t^2+12at+b-9$라 두자. 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서 $\displaystyle f(x)$의 그래프에 접하고 점 $\displaystyle P(a,b)$를 지나는 서로 다른 접선이 4개 존재하면 방정식 $\displaystyle G(t)=0$의 서로 다른 실근이 4개 존재해야 한다.$\displaystyle G^{\prime}(t)=12t^3-12at^2-12t+12a=12(t+1)(t-1)(t-a)$이고 $\displaystyle 2\le a\le3$이므로, $\displaystyle t\in(-\infty,-1)\cup(1,a)$일 때 $\displaystyle G^{\prime}(t)<0$이고, $\displaystyle t\in(-1,1)\cup(a,\infty)$일 때 $\displaystyle G^{\prime}(t)>0$이다. 그리고 $\displaystyle \lim_{t\to-\infty}G(t)=\infty=\lim_{t\to\infty}G(t)$이다. 따라서 방정식 $\displaystyle G(t)=0$이 서로 다른 네 개의 실근을 가질 필요충분조건은$\displaystyle G(-1)<0$이고 $\displaystyle G(1)>0$이고 $\displaystyle G(a)<0$이다. 한편$\displaystyle G(-1)-G(a)=a^4-6a^2-8a-3=(a+1)^3(a-3)\le0$이므로, $\displaystyle G(t)=0$이 서로 다른 네 개의 실근을 가질 필요충분조건은$\displaystyle G(1)>0$이고 $\displaystyle G(a)<0$이다. 이를 다시 쓰면$\displaystyle 12-8a<b<a^4-6a^2+9$이다. 그런데 (2-2)의 풀이에 따르면 $\displaystyle f(x)$의 그래프에 접하는 직선이 서로 다른 두 접점을 가지는 경우는 $\displaystyle b=0$뿐이다. 그러므로 $\displaystyle 2\le a\le3$일 때 서로 다른 네 접선이 존재할 필요충분조건은$\displaystyle 12-8a<b<a^4-6a^2+9$이고 $\displaystyle b\ne0$이다. 선분은 영역의 넓이에 영향을 주지 않으므로, $\displaystyle S$의 넓이를 구할 때 $\displaystyle b$가 0인 조건은 무시해도 좋다. 따라서 $\displaystyle S$의 넓이는$\displaystyle \int_2^3(a^4-6a^2+9-(12-8a))\,da=\Biggl[\frac{a^5}5-2a^3+4a^2-3a\Biggr]_2^3=\frac{106}5$이다.