자연계열 3번

(3-1) (10점) 제시문 (다)에 의해 집합 $\displaystyle A$는 서로 다른 두 점 $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$를 지름의 양 끝점으로 하는 구와 그 내부이고, 제시문 (나)에 의해 집합 $\displaystyle B$는 점 $\displaystyle M$을 지나고 법선벡터가 $\displaystyle \overrightarrow{PQ}$인 평면이다. <그림 1>과 같이 $\displaystyle B$에 의해 잘린 $\displaystyle A$의 두 부분의 부피를 $\displaystyle V_1,V_2$라 하자. 편의상 <그림2>와 같이 선분 $\displaystyle PQ$의 길이를 $\displaystyle 4a$로 놓고 직선 $\displaystyle PQ$를 $\displaystyle x$축, 선분 $\displaystyle PQ$의 중점을 $\displaystyle xy$평면의 원점 $\displaystyle O$가 되도록 하자.

구하려는 두 부분의 부피 $\displaystyle V_1,V_2$는 각각 <그림 2>에서 원의 일부분을 $\displaystyle x$축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피이다. 원의 식은 $\displaystyle x^2+y^2=4a^2$로 주어지므로$\displaystyle V_1=\pi\int_a^{2a}y^2\,dx=\pi\int_a^{2a}(4a^2-x^2)\,dx=\pi\Biggl[4a^2x-\frac13x^3\Biggr]_a^{2a}=\frac53\pi a^3$$\displaystyle V_2=\frac43\pi(2a)^3-V_1=\frac{32}3\pi a^3-\frac53\pi a^3=\frac{27}3\pi a^3$이다. 따라서 $\displaystyle V_1:V_2=5:27$이다.

(3-2) (15점) 먼저 $\displaystyle A\cap B$는 아래 그림과 같이 원판이다.

$\displaystyle |\overrightarrow{PQ}|=3$이므로 구의 반지름은 $\displaystyle r=\frac32$이고 $\displaystyle \overline{OM}=\frac34$이다. 따라서 $\displaystyle A\cap B$의 반지름은 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}4$이고 $\displaystyle A\cap B$의 넓이는 $\displaystyle \frac{27}{16}\pi$이다. 평면 $\displaystyle A\cap B$와 $\displaystyle xy$평면이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면, 평면 $\displaystyle A\cap B$와 $\displaystyle xy$평면의 법선벡터가 각각 $\displaystyle \overrightarrow{PQ}=(1,2,2)$와 $\displaystyle \vec k=(0,0,1)$이므로$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{PQ}\cdot\vec k}{|\overrightarrow{PQ}||\vec k|}=\frac23$이다. 따라서 $\displaystyle A\cap B$의 $\displaystyle xy$평면으로의 정사영의 넓이는$\displaystyle (A\cap B\text{의 넓이})\times\cos\theta=\frac{27}{16}\pi\times\frac23=\frac98\pi$이다.