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자연계열 (오전) 1번

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한국기술교육대 2021학년도 수시 자연계열 (오전) 1번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2021su/jayeon_am_1

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문제

0≤x≤3π\displaystyle 0\le x\le3\pi일 때, N(n)\displaystyle N(n)은 방정식 sin⁡(x−π2n)=12\displaystyle \sin\left(x-\frac\pi2n\right)=\frac12을 만족시키는 모든 x\displaystyle x의 개수이다. (단, n\displaystyle n은 음이 아닌 정수이다.)다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) 방정식 sin⁡x=12\displaystyle \sin x=\frac12을 만족시키는 모든 x\displaystyle x의 값의 합을 구하시오. (단, 0≤x≤3π\displaystyle 0\le x\le3\pi이다.) (6점)

(2) N(0)+N(1)\displaystyle N(0)+N(1)의 값을 구하시오. (6점)

(3) ∑n=010N(n)\displaystyle \sum_{n=0}^{10}N(n)의 값을 구하시오. (8점)

해설강의 준비중

한국기술교육대 2021학년도 수시 자연계열 (오전) 1번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2021su/jayeon_am_1

+4점 · 방정식 sin⁡x=12\displaystyle \sin x=\frac12의 해 x=π6,5π6,13π6,17π6\displaystyle x=\frac\pi6,\frac{5\pi}6,\frac{13\pi}6,\frac{17\pi}6를 구할 수 있다.

(1) 구하는 방정식의 해는 y=sin⁡x\displaystyle y=\sin x의 그래프와 직선 y=12\displaystyle y=\frac12의 교점의 x\displaystyle x좌표와 같으므로 [그림 1]에 의해 x=π6,5π6,13π6,17π6\displaystyle x=\frac\pi6,\frac{5\pi}6,\frac{13\pi}6,\frac{17\pi}6이다.

+2점 · 방정식 sin⁡x=12\displaystyle \sin x=\frac12의 해를 모두 더한 값 6π\displaystyle 6\pi를 구할 수 있다.

따라서 (1+5+13+176)π=6π\displaystyle \left(\frac{1+5+13+17}{6}\right)\pi=6\pi이다.

[그림 1]
+4점 · N(1)=3\displaystyle N(1)=3을 구할 수 있다.

(2) 문항 (1)에 의해 N(0)=4\displaystyle N(0)=4이다.n=1\displaystyle n=1일 때, 주어진 방정식의 해는 y=sin⁡(x−π2)=−cos⁡x\displaystyle y=\sin\left(x-\frac\pi2\right)=-\cos x의 그래프와 직선 y=12\displaystyle y=\frac12의 교점의 좌표와 같다.[그림 2]에 의해 N(1)=3\displaystyle N(1)=3이다.

+2점 · N(0)+N(1)\displaystyle N(0)+N(1)의 값 7\displaystyle 7을 구할 수 있다.

따라서 N(0)+N(1)=7\displaystyle N(0)+N(1)=7

[그림 2] (n=1)
+4점 · N(2)=2\displaystyle N(2)=2 와 N(3)=3\displaystyle N(3)=3을 구할 수 있다.

(3) 동일한 방법으로 [그림 3]으로부터 N(2)=2\displaystyle N(2)=2이고, N(3)=3\displaystyle N(3)=3이다.

[그림 3] (n=2, n=3)
+4점 · ∑n=010N(n)\displaystyle \sum_{n=0}^{10}N(n)의 값 33\displaystyle 33을 구할 수 있다.

sin⁡x\displaystyle \sin x의 주기가 2π\displaystyle 2\pi이므로 다음과 같이 값이 반복된다.N(0)=N(4)=N(8)=4\displaystyle N(0)=N(4)=N(8)=4N(1)=N(5)=N(9)=3\displaystyle N(1)=N(5)=N(9)=3N(2)=N(6)=N(10)=2\displaystyle N(2)=N(6)=N(10)=2N(3)=N(7)=3\displaystyle N(3)=N(7)=3따라서 ∑n=010N(n)=3N(0)+3N(1)+3N(2)+2N(3)=3(4+3+2)+2×3=33\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=0}^{10}N(n)&=3N(0)+3N(1)+3N(2)+2N(3)\\&=3(4+3+2)+2\times3=33\end{aligned}

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