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자연계열 (오후) 4번

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한국기술교육대 2021학년도 수시 자연계열 (오후) 4번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2021su/jayeon_pm_4

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삼차함수 f(x)=x3−ax2−x+a\displaystyle f(x)=x^3-ax^2-x+a일 때, g(a)=∫−11∣f(x)∣ dx\displaystyle g(a)=\int_{-1}^1|f(x)|\,dx이다. (단, a\displaystyle a는 실수이다.)다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) g(0)\displaystyle g(0)의 값을 구하시오. (4점)

(2) 0≤a≤1\displaystyle 0\le a\le1일 때, g(a)\displaystyle g(a)를 구하시오. (6점)

(3) a≥1\displaystyle a\ge1일 때, g(a)\displaystyle g(a)를 구하시오. (6점)

(4) 닫힌구간 [0,2]\displaystyle [0,2]에서 g(a)\displaystyle g(a)의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (4점)

해설강의 준비중

한국기술교육대 2021학년도 수시 자연계열 (오후) 4번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2021su/jayeon_pm_4

+4점 · g(0)\displaystyle g(0)의 값 12\displaystyle \frac12을 구할 수 있다.

(1) g(0)=∫−11∣x3−x∣ dx=2∫01(x−x3) dx=2[x22−x44]01=12\displaystyle g(0)=\int_{-1}^1|x^3-x|\,dx=2\int_0^1(x-x^3)\,dx=2\Biggl[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\Biggr]_0^1=\frac12

(2) f(x)=x3−ax2−x+a=x(x2−1)−a(x2−1)=(x2−1)(x−a)\displaystyle f(x)=x^3-ax^2-x+a=x(x^2-1)-a(x^2-1)=(x^2-1)(x-a)이다.0≤a≤1\displaystyle 0\le a\le1일 때, f(x)\displaystyle f(x)의 그래프 개형은 그림과 같다.

a가 0과 1 사이일 때의 삼차함수 그래프
+3점 · 식 g(a)=∫−1a(x3−ax2−x+a) dx−∫a1(x3−ax2−x+a) dx\displaystyle g(a)=\int_{-1}^a(x^3-ax^2-x+a)\,dx-\int_a^1(x^3-ax^2-x+a)\,dx를 구할 수 있다.
+3점 · g(a)=−16a4+a2+12\displaystyle g(a)=-\frac16a^4+a^2+\frac12을 구할 수 있다.

따라서g(a)=∫−11∣f(x)∣ dx=∫−1a(x3−ax2−x+a) dx−∫a1(x3−ax2−x+a) dx=−16a4+a2+12\displaystyle \begin{aligned}g(a)&=\int_{-1}^1|f(x)|\,dx=\int_{-1}^a(x^3-ax^2-x+a)\,dx-\int_a^1(x^3-ax^2-x+a)\,dx\\&=-\frac16a^4+a^2+\frac12\end{aligned}

(3) a≥1\displaystyle a\ge1일 때, f(x)\displaystyle f(x)의 그래프 개형은 그림과 같다.

a가 1 이상일 때의 삼차함수 그래프
+3점 · 식 g(a)=∫−11(x3−ax2−x+a) dx\displaystyle g(a)=\int_{-1}^1(x^3-ax^2-x+a)\,dx를 구할 수 있다.
+3점 · g(a)=4a3\displaystyle g(a)=\frac{4a}{3}를 구할 수 있다.

g(a)=∫−11∣f(x)∣ dx=∫−11(x3−ax2−x+a) dx=∫−11(−ax2+a) dx=2a∫01(−x2+1) dx=2a[−x33+x]01=43a\displaystyle \begin{aligned}g(a)&=\int_{-1}^1|f(x)|\,dx=\int_{-1}^1(x^3-ax^2-x+a)\,dx\\&=\int_{-1}^1(-ax^2+a)\,dx=2a\int_0^1(-x^2+1)\,dx=2a\Biggl[-\frac{x^3}{3}+x\Biggr]_0^1=\frac43a\end{aligned}

+2점 · 최댓값 83\displaystyle \frac83을 구할 수 있다.

(4) g′(a)=−23a3+2a=0\displaystyle g^{\prime}(a)=-\frac23a^3+2a=0의 해는 a=0,±3\displaystyle a=0,\pm\sqrt3이고, 열린구간 (0,1)\displaystyle (0,1)에서 g′(a)≥0\displaystyle g^{\prime}(a)\ge0이므로 g(a)\displaystyle g(a)는 증가함수이다. 열린구간 (1,2)\displaystyle (1,2)에서 g(a)=43a\displaystyle g(a)=\frac43a이므로 g(a)\displaystyle g(a)는 증가함수이다.따라서 최댓값은 g(2)=83\displaystyle g(2)=\frac83이고

+2점 · 최솟값 12\displaystyle \frac12을 구할 수 있다.

최솟값은 g(0)=12\displaystyle g(0)=\frac12이다.

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