자연계열 (오후) 4번

(1) $\displaystyle g(0)=\int_{-1}^1|x^3-x|\,dx=2\int_0^1(x-x^3)\,dx=2\Biggl[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\Biggr]_0^1=\frac12$

따라서$\displaystyle \begin{aligned}g(a)&=\int_{-1}^1|f(x)|\,dx=\int_{-1}^a(x^3-ax^2-x+a)\,dx-\int_a^1(x^3-ax^2-x+a)\,dx\\&=-\frac16a^4+a^2+\frac12\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}g(a)&=\int_{-1}^1|f(x)|\,dx=\int_{-1}^1(x^3-ax^2-x+a)\,dx\\&=\int_{-1}^1(-ax^2+a)\,dx=2a\int_0^1(-x^2+1)\,dx=2a\Biggl[-\frac{x^3}{3}+x\Biggr]_0^1=\frac43a\end{aligned}$

(4) $\displaystyle g^{\prime}(a)=-\frac23a^3+2a=0$의 해는 $\displaystyle a=0,\pm\sqrt3$이고, 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 $\displaystyle g^{\prime}(a)\ge0$이므로 $\displaystyle g(a)$는 증가함수이다. 열린구간 $\displaystyle (1,2)$에서 $\displaystyle g(a)=\frac43a$이므로 $\displaystyle g(a)$는 증가함수이다.따라서 최댓값은 $\displaystyle g(2)=\frac83$이고 최솟값은 $\displaystyle g(0)=\frac12$이다.