자연계열 (오전) 5번

(1) 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle 1$이므로$\displaystyle P(0\le X\le40)=\frac12\times40\times k=1$$\displaystyle k=\frac1{20}$

$\displaystyle P(X\ge30)$은 그림에서 색칠한 부분의 넓이이므로$\displaystyle \begin{aligned}P(X\ge30)&=\frac12\times(40-30)\times\left\{\frac{30-a}{20(a-40)}+\frac1{20}\right\}\\&=\frac5{80-2a}\end{aligned}$

(3) $\displaystyle 10\le a\le20$에서 $\displaystyle P(X\ge30)=\frac5{80-2a}$은 증가하므로 $\displaystyle a=10$일 때, 도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차가 $\displaystyle 30$분 이상일 확률이 가장 작다.$\displaystyle a=10$일 때의 확률은$\displaystyle P(X\ge30)=\frac5{80-20}=\frac5{60}=\frac1{12}$