자연계열 (오전) 5번

한국기술교육대 2021학년도 수시 자연계열 (오전) 5번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2021su/jayeon_am_5

$\displaystyle 10\le a\le20$ 인 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 열차의 도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차(단위: 분)를 확률변수 $\displaystyle X$ 라고 할 때, $\displaystyle X$ 의 확률밀도함수는 다음과 같다. $\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac ka x&(0\le x\le a)\\\frac k{a-40}(x-a)+k&(a\le x\le40)\end{cases}$ 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle k$ 는 상수이다.) (20점)

(1) $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오. (5점)

(2) 도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차가 $\displaystyle 30$ 분 이상일 확률을 $\displaystyle a$ 에 관한 식으로 나타내시오. (8점)

(3) 도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차가 $\displaystyle 30$ 분 이상일 확률이 가장 작은 $\displaystyle a$ 의 값과, 그 때의 확률을 구하시오. (7점)

해설강의 준비중

한국기술교육대 2021학년도 수시 자연계열 (오전) 5번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2021su/jayeon_am_5

+5점 ·

\displaystyle k

의 값

\displaystyle \frac1{20}

을 구할 수 있다.

(1) 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 그래프와 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle 1$ 이므로 $\displaystyle P(0\le X\le40)=\frac12\times40\times k=1$ $\displaystyle k=\frac1{20}$

(2)

+5점 · 식

\displaystyle P(X\ge30)=\frac12\times(40-30)\times\left\{\frac{30-a}{20(a-40)}+\frac1{20}\right\}

을 구할 수 있다.

+3점 ·

\displaystyle P(X\ge30)=\frac5{80-2a}

를 구할 수 있다.

$\displaystyle P(X\ge30)$ 은 그림에서 색칠한 부분의 넓이이므로 $\displaystyle \begin{aligned}P(X\ge30)&=\frac12\times(40-30)\times\left\{\frac{30-a}{20(a-40)}+\frac1{20}\right\}\\&=\frac5{80-2a}\end{aligned}$

+4점 ·

\displaystyle a

의 값

\displaystyle 10

을 구할 수 있다.

(3) $\displaystyle 10\le a\le20$ 에서 $\displaystyle P(X\ge30)=\frac5{80-2a}$ 은 증가하므로 $\displaystyle a=10$ 일 때, 도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차가 $\displaystyle 30$ 분 이상일 확률이 가장 작다.

+3점 · 확률

\displaystyle \frac1{12}

을 구할 수 있다.

$\displaystyle a=10$ 일 때의 확률은 $\displaystyle P(X\ge30)=\frac5{80-20}=\frac5{60}=\frac1{12}$

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