자연계열 (오후) 5번

한국기술교육대 2021학년도 수시 자연계열 (오후) 5번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2021su/jayeon_pm_5

모집단 $\displaystyle A$ 의 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포를 표로 나타내면 아래와 같고, 다음 조건을 만족시킨다.

$\displaystyle X$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	합계
$\displaystyle P(X)$	$\displaystyle p_1$	$\displaystyle p_2$	$\displaystyle p_3$	$\displaystyle 1$

(단, $\displaystyle p_1,p_2,p_3$ 는 상수이다.)

(가) 모집단 $\displaystyle A$ 에서 크기가 $\displaystyle 3$ 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\displaystyle \overline X$ 라고 한다.(나) $\displaystyle P(\overline X=1)=\frac1{27}$ 이다.(다) $\displaystyle E(\overline X)=\frac{13}{6}$ 이다.

다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) $\displaystyle E(2X+5)$ 의 값을 구하시오. (5점)

(2) $\displaystyle P(X=2)$ 의 값을 구하시오. (5점)

(3) $\displaystyle V(X)$ 의 값을 구하시오. (5점)

(4) $\displaystyle V(2\overline X+5)$ 의 값을 구하시오. (5점)

해설강의 준비중

한국기술교육대 2021학년도 수시 자연계열 (오후) 5번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2021su/jayeon_pm_5

+5점 ·

\displaystyle E(2X+5)

의 값

\displaystyle \frac{28}{3}

을 구할 수 있다.

(1) $\displaystyle E(X)=E(\overline X)$ 이므로 $\displaystyle E(2X+5)=2E(X)+5=2E(\overline X)+5=2\times\frac{13}{6}+5=\frac{28}{3}$

(2) 확률변수 $\displaystyle \overline X$ 의 분포는 아래와 같다. (단, $\displaystyle q_i$ ( $\displaystyle 1\le i\le7$ )는 상수이다.)

$\displaystyle \overline X$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \frac43$	$\displaystyle \frac53$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \frac73$	$\displaystyle \frac83$	$\displaystyle 3$	합계
$\displaystyle P(\overline X)$	$\displaystyle q_1$	$\displaystyle q_2$	$\displaystyle q_3$	$\displaystyle q_4$	$\displaystyle q_5$	$\displaystyle q_6$	$\displaystyle q_7$	$\displaystyle 1$

+2점 ·

\displaystyle p_1=\frac13

을 구할 수 있다.

주어진 표로부터 $\displaystyle p_1+p_2+p_3=1$ ⋯⋯① $\displaystyle E(X)=\frac{13}{6}$ 이므로 $\displaystyle p_1+2p_2+3p_3=\frac{13}{6}$ ⋯⋯② $\displaystyle \overline X=1$ 인 경우는 크기가 $\displaystyle 3$ 인 표본을 추출했을 때 모두 $\displaystyle X=1$ 인 경우이므로 $\displaystyle P(\overline X=1)=q_1=(p_1)^3=\frac1{27}$ ⋯⋯③위 식 ①, ②, ③을 풀면 $\displaystyle p_1=\frac13,p_2=\frac16,p_3=\frac12$

+3점 ·

\displaystyle P(X=2)

의 값

\displaystyle \frac16

을 구할 수 있다.

$\displaystyle P(X=2)=\frac16$

+5점 ·

\displaystyle V(X)

의 값

\displaystyle \frac{29}{36}

를 구할 수 있다.

(3) $\displaystyle V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$ $\displaystyle E(X^2)=1^2\times\frac13+2^2\times\frac16+3^2\times\frac12=\frac{11}{2}$ $\displaystyle \{E(X)\}^2=\left(\frac{13}{6}\right)^2=\frac{169}{36}$ 따라서 $\displaystyle V(X)=\frac{11}{2}-\frac{169}{36}=\frac{29}{36}$

+5점 ·

\displaystyle V(2\overline X+5)

의 값

\displaystyle \frac{29}{27}

를 구할 수 있다.

(4) $\displaystyle \begin{aligned}V(2\overline X+5)&=2^2\times V(\overline X)=2^2\times\frac{V(X)}n=\frac43V(X)\\&=\frac{29}{27}\end{aligned}$

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 (오후) 5번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개