자연계열 (오전) 3번

(1) $\displaystyle g(x)=(x^2+2x+3)f(x)$라고 하자.조건 (가)로부터 $\displaystyle g^{\prime}(0)=0$ 및 $\displaystyle g(0)=18$이다.$\displaystyle g^{\prime}(x)=(2x+2)(x^3+ax^2+bx+c)+(x^2+2x+3)(3x^2+2ax+b)$이므로$\displaystyle g(0)=3c=18$ ⋯⋯①$\displaystyle g^{\prime}(0)=2c+3b=0$ ⋯⋯②방정식 ①과 ②를 풀면 $\displaystyle c=6,b=-4$이다. 따라서 $\displaystyle b+c=-4+6=2$이다.

(2) 문항 (1)로부터 $\displaystyle f(x)=x^3+ax^2-4x+6$이다.$\displaystyle f(1)=1+a-4+6=a+3$이고,$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2ax-4$이므로$\displaystyle f^{\prime}(1)=3+2a-4=2a-1$조건 (나)에 대한 직선의 방정식은$\displaystyle y-(a+3)=(2a-1)(x-1)$이 직선이 점 $\displaystyle (0,2)$를 지나므로$\displaystyle 2-(a+3)=(2a-1)(0-1)$$\displaystyle a=2$

따라서 $\displaystyle x=-2$에서 극댓값은 $\displaystyle 14$, $\displaystyle x=\frac23$에서 극솟값은 $\displaystyle \frac{122}{27}$를 갖는다.

$\displaystyle f(3)$과 $\displaystyle f(-3)$의 값을 구하면$\displaystyle f(3)=3^3+2\times3^2-4\times3+6=27+18-12+6=39$$\displaystyle f(-3)=(-3)^3+2\times(-3)^2-4\times(-3)+6=-27+18+12+6=9$따라서 최댓값은 $\displaystyle 39$이고, 최솟값은 $\displaystyle \frac{122}{27}$이다.