자연계열 (오전) 4번

(1) $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2ax+b$이므로$\displaystyle x=1$에서 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(1)=3+2a+b$$\displaystyle x=2$에서 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(2)=12+4a+b$조건 (가)와 (나)에 의해$\displaystyle (3+2a+b)+(12+4a+b)=1$ ⋯⋯①$\displaystyle (3+2a+b)(12+4a+b)=-2$ ⋯⋯②

식 ①에서 $\displaystyle b=-3a-7$이므로 $\displaystyle b$를 식 ②에 대입하면$\displaystyle (-a-4)(a+5)=-2$$\displaystyle a^2+9a+18=0$방정식의 해는 $\displaystyle a=-3,-6$$\displaystyle a=-3$이면 $\displaystyle b=2$이고,$\displaystyle a=-6$이면 $\displaystyle b=11$이다.조건 (다)에 의해 $\displaystyle a=-3,b=2$따라서 $\displaystyle a+b=-3+2=-1$

(2) 조건 (라)에 의하여 $\displaystyle f(1)=f(2)=c$이므로 점 $\displaystyle R$의 좌표는 $\displaystyle (t,c)$

점 $\displaystyle R(t,c)$가 $\displaystyle f(x)$에 위에 있으므로$\displaystyle c=t^3-3t^2+2t+c$$\displaystyle t(t-1)(t-2)=0$$\displaystyle t\ne1$, $\displaystyle t\ne2$이므로 $\displaystyle t=0$이다.

주어진 문제로부터$\displaystyle \int_0^1(x^3-3x^2+2x+c)\,dx=1$

$\displaystyle \Biggl[\frac14x^4-x^3+x^2+cx\Biggr]_0^1=1$$\displaystyle \frac14-1+1+c=1$따라서 $\displaystyle c=\frac34$이다.