자연계열 (오전) 2번

(1) 점 $\displaystyle A$의 $\displaystyle x$좌표는 방정식 $\displaystyle \log_3x=\log_3\frac9x$의 해와 같다.주어진 방정식을 풀면$\displaystyle x=\frac9x\quad(x>0)$$\displaystyle x=3$

또한 점 $\displaystyle A$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \log_33=1$이다.따라서 점 $\displaystyle A$의 좌표는 $\displaystyle (3,1)$이다.

(2) 점 $\displaystyle B$의 $\displaystyle y$좌표가 $\displaystyle a$이므로 점 $\displaystyle B$의 $\displaystyle x$좌표는 방정식 $\displaystyle a=\log_3x$의 해와 같다. 주어진 방정식을 풀면$\displaystyle x=3^a$점 $\displaystyle C$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=\log_3\frac9{3^a}=2-a\quad(a>1)$이므로 $\displaystyle \overline{BC}=2a-2$이다.

주어진 문제의 조건에 의해$\displaystyle 100<2a-2<1000$$\displaystyle 51<a<501$$\displaystyle a$는 자연수이므로 부등식을 만족하는 $\displaystyle a$의 개수는 $\displaystyle 500-52+1=449$(개)이다.

(3) 점 $\displaystyle D$의 $\displaystyle y$좌표가 $\displaystyle a$이므로 점 $\displaystyle D$의 $\displaystyle x$좌표는 방정식 $\displaystyle a=\log_3\frac9x$의 해와 같다. 방정식을 풀면$\displaystyle \frac9x=3^a$$\displaystyle x=9\times3^{-a}$점 $\displaystyle B$의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle 3^a$이므로, $\displaystyle \overline{BD}=3^a-9\times3^{-a}$이다.

주어진 문제의 조건에 의해$\displaystyle 3^a-9\times3^{-a}=8\quad(a>1)$$\displaystyle (3^a)^2-8\times3^a-9=0$$\displaystyle (3^a-9)(3^a+1)=0$$\displaystyle 3^a+1\ne0$이고, $\displaystyle 3^a=9$이므로 $\displaystyle a=2$이다.