자연계열 (오전) 1번

(풀이) 정적분 계산을 하면$\displaystyle f(1)=\int_{-2}^{2}|2t-\cos\pi|\,dt=\int_{-2}^{2}|2t+1|\,dt=\frac{17}{2}$

$\displaystyle f(2)=\int_{-2}^{2}|2t-2\cos(2\pi)|\,dt=2\int_{-2}^{2}|t-1|\,dt=10$

$\displaystyle f(3)=\int_{-2}^{2}|2t-3\cos(3\pi)|\,dt=\int_{-2}^{2}|2t+3|\,dt=\frac{25}{2}$이다. 따라서, $\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)=\frac{17}{2}+10+\frac{25}{2}=31$이다.

(풀이) $\displaystyle n\ge4$이고 $\displaystyle n$이 짝수일 때,$\displaystyle f(n)=\int_{-2}^{2}|2t-n|\,dt=\int_{-2}^{2}(n-2t)\,dt=4n$이고,

$\displaystyle n\ge4$이고 $\displaystyle n$이 홀수일 때,$\displaystyle f(n)=\int_{-2}^{2}|2t+n|\,dt=\int_{-2}^{2}(2t+n)\,dt=4n$이다.

따라서, 문제에서 구하고자 하는 합은$\displaystyle \sum_{n=1}^{20}f(n)=\sum_{n=1}^{3}f(n)+\sum_{n=4}^{20}4n=31+4\times\frac{17\times\{2\times4+(17-1)\times1\}}{2}=847$이다.