자연계열 (오후) 1번

(풀이) 정적분을 계산하면$\displaystyle f(1)=\int_{-2}^{2}(2x+3x^2)\,dx=16$

$\displaystyle f(8)=\int_{-2}^{2}(9x^8+10x^9)\,dx=1024$이다. 따라서, 문제에서 구하고자 하는 값은$\displaystyle f(1)+f(8)=16+1024=1040$이다.

(풀이) $\displaystyle n$이 홀수일 때,$\displaystyle f(n)=\int_{-2}^{2}(n+2)x^{n+1}\,dx=2^{n+3}$이고,

$\displaystyle n$이 짝수일 때,$\displaystyle f(n)=\int_{-2}^{2}(n+1)x^n\,dx=2^{n+2}$이다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{20}\log_2\{f(n)\}&=\sum_{k=1}^{10}\log_2\{f(2k-1)\}+\sum_{k=1}^{10}\log_2\{f(2k)\}\\&=\sum_{k=1}^{10}\log_2(2^{2k-1+3})+\sum_{k=1}^{10}\log_2(2^{2k+2})\\&=4\sum_{k=1}^{10}(k+1)\\&=4\times\left(\frac{10\times11}{2}+10\right)\\&=260\end{aligned}$