자연계열 (오전) 2번

(풀이) 평균변화율 정의에 의하면$\displaystyle g\left(\frac12\right)=\frac{f\left(\frac12\right)-f(0)}{\frac12-0}=1$

$\displaystyle g(2)=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=-3$이다.

(풀이) $\displaystyle t\le1$일 때, $\displaystyle f(t)=t+2$이므로$\displaystyle g(t)=\frac{f(t)-f(0)}{t-0}=\frac{(t+2)-2}{t}=1\quad(t\le1)$이고, $\displaystyle t>1$일 때, $\displaystyle f(t)=-2t$이므로$\displaystyle g(t)=\frac{f(t)-f(0)}{t-0}=\frac{(-2t)-2}{t}=-2-\frac2t\quad(t>1)$이다.

이 결과를 이용하여 함수 $\displaystyle h(t)$를 구하면$\displaystyle h(t)=\begin{cases}\frac13(t^2+at+b)&(t\le1)\\-\frac t2(t^2+at+b)&(t>1)\end{cases}$이다. 함수 $\displaystyle h(t)$가 $\displaystyle t=1$에서 미분가능하므로 $\displaystyle t=1$에서 연속이다. 함수의 연속의 정의에 의해 $\displaystyle -\frac12(1+a+b)=\frac13(1+a+b)$이므로$\displaystyle 1+a+b=0$ --- ①이다.

또한, 함수 $\displaystyle h(t)$가 $\displaystyle t=1$에서 미분가능하므로 좌극한값$\displaystyle \lim_{t\to1-}\frac{h(t)-h(1)}{t-1}=\lim_{t\to1-}\frac13\frac{(t+1+a)(t-1)}{t-1}=\frac13(2+a)$와 우극한값$\displaystyle \lim_{t\to1+}\frac{h(t)-h(1)}{t-1}=\lim_{t\to1+}-\frac t2\frac{(t+1+a)(t-1)}{t-1}=-\frac12(2+a)$이 같다. 따라서, $\displaystyle a=-2$이고, 식 ①로부터 $\displaystyle b=1$이다.