자연계열 (오후) 3번

(1) $\displaystyle f(3)$의 값을 구하시오. (12점)

(풀이) 극한$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)+x^2-1}{x(x^2-a^2)}$ --- ①이 존재하려면 $\displaystyle f(x)$는 삼차함수이다. 조건 (나)에 의해 식 ①의 극한값이 $\displaystyle 1$이므로, $\displaystyle f(x)$에서 $\displaystyle x^3$의 계수는 $\displaystyle 1$이다.

함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 연속이므로$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)+x^2-1}{x^2-a^2}=3$ --- ②이다. 삼차함수 $\displaystyle f(x)$가 식 ②를 만족하기 위해서는 $\displaystyle f(x)+x^2-1$은 $\displaystyle x-a$의 인수를 가져야 한다. 마찬가지로, 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=-a$에서도 연속이므로$\displaystyle \lim_{x\to-a}g(x)=\lim_{x\to-a}\frac{f(x)+x^2-1}{x^2-a^2}=-1$ --- ③이고, $\displaystyle f(x)+x^2-1$은 $\displaystyle x+a$의 인수를 갖는다.

(2) $\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{f(x)}{g(x)}$의 값을 구하시오. (8점)