자연계열 (오전) 3번

(풀이) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$에서 출발해서 $\displaystyle x$축 위를 양의 방향으로 움직이고 시각 $\displaystyle t$($\displaystyle t\ge0$)에서의 속도가 $\displaystyle 3\sqrt3t$이므로 시각 $\displaystyle t$에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle \int_0^t3\sqrt3s\,ds=\frac{3\sqrt3}{2}t^2$이다. 그러므로, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는$\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{3\sqrt3}{2}t^2,0\right)$이다.

또한, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \mathrm{A}\left(\frac{\sqrt3}{2}t^2,0\right)$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \mathrm{B}(\sqrt3t^2,0)$이다. 이차함수 $\displaystyle y=f(x)$가 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$와 점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{3\sqrt3}{2}t^2,0\right)$를 지나고 최고차항의 계수가 $\displaystyle -1$이므로$\displaystyle f(x)=-x\left(x-\frac{3\sqrt3}{2}t^2\right)$이다. 이차함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표는$\displaystyle \mathrm{C}\left(\frac{3\sqrt3}{4}t^2,\frac{27}{16}t^4\right)$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{C}$에 대한 $\displaystyle x$축 위로의 수선의 발을 점 $\displaystyle \mathrm{M}$이라 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$가 정삼각형이 되기 위해서는 $\displaystyle \overline{\mathrm{CM}}=\frac{\sqrt3}{2}\overline{\mathrm{AB}}$, 즉$\displaystyle \frac{27}{16}t_0^4=\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{\sqrt3}{2}t_0^2$이므로 $\displaystyle t_0=\frac23$($\displaystyle t_0>0$)이다.

(풀이) 시각 $\displaystyle t$($\displaystyle t>0$)에서의 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이는$\displaystyle S(t)=\frac12\times\frac{\sqrt3}{2}t^2\times\frac{27}{16}t^4=\frac{27\sqrt3}{64}t^6$이다.

따라서, 문제에서 구하고자 하는 $\displaystyle S^{\prime}(t_0)$의 값은$\displaystyle S^{\prime}(t_0)=S^{\prime}\left(\frac23\right)=\left.\frac{81\sqrt3}{32}t^5\right|_{t=\frac23}=\frac{\sqrt3}{3}$이다.