자연계열 (오후) 4번

위의 그림과 같이 $\displaystyle \angle\mathrm{ACB}=\theta$라 하자. 이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 각 변의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=1$이므로, $\displaystyle \cos\theta=\frac14$이다. 또한, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$를 $\displaystyle 2:1$로 외분하는 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}=1$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{CE}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CE}}=1$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CDE}$에 대하여 코사인법칙을 적용하면$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{ED}}^2&=\overline{\mathrm{CE}}^2+\overline{\mathrm{CD}}^2-2\times\overline{CD}\times\overline{CE}\times\cos(\pi-\theta)\\&=1+1-2\times1\times1\times\left(-\frac14\right)\\&=\frac52\end{aligned}$이다. 따라서, 선분 $\displaystyle \mathrm{ED}$의 길이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{10}}2$이다.

(풀이) 원 $\displaystyle C_1$의 중심을 $\displaystyle \mathrm{Q}$라 하자. 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{QEC}$와 $\displaystyle \mathrm{QCD}$가 직각삼각형이므로, 네 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$, $\displaystyle \mathrm{E}$, $\displaystyle \mathrm{C}$, $\displaystyle \mathrm{D}$는 지름이 $\displaystyle \overline{\mathrm{QC}}$인 원 위에 있다. 이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 각 변의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=1$이므로, $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt{15}}4$이다. $\displaystyle \angle\mathrm{DQE}=\theta$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{QED}$에 대하여 사인법칙을 적용하면$\displaystyle \overline{\mathrm{QC}}=\frac{\overline{\mathrm{ED}}}{\sin\theta}=\frac{2\sqrt6}{3}$이고, 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{QEC}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{EQ}}^2=\overline{\mathrm{QC}}^2-\overline{\mathrm{EC}}^2$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{EQ}}=\frac{\sqrt{15}}3$이다. 직선 $\displaystyle \mathrm{QC}$와 원 $\displaystyle C_1$가 만나는 점 중에 점 $\displaystyle \mathrm{C}$와의 거리가 가장 먼 점을 $\displaystyle \mathrm{P}'$, 선분 $\displaystyle \mathrm{ED}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{QC}$가 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{R}$이라 할 때,$\displaystyle \overline{\mathrm{ER}}=\frac12\overline{\mathrm{ED}}=\frac{\sqrt{10}}4$이고, 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{EQR}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}^2=\overline{\mathrm{EQ}}^2-\overline{\mathrm{ER}}^2$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=\frac{5\sqrt6}{12}$이다. 원 $\displaystyle C_1$ 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 점 $\displaystyle \mathrm{P}'$에 위치할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PED}$의 넓이가 최대이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{P}'\mathrm{Q}}=\overline{\mathrm{EQ}}=\frac{\sqrt{15}}3$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}'\mathrm{ED}$의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}\Delta\mathrm{P}'\mathrm{ED}&=\frac12\times\overline{\mathrm{ED}}\times(\overline{\mathrm{QR}}+\overline{\mathrm{P}'\mathrm{Q}})\\&=\frac{5\sqrt{15}}{24}+\frac{5\sqrt6}{12}\end{aligned}$이다. 따라서, 문제에서 구하고자 하는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PED}$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{5\sqrt{15}}{24}+\frac{5\sqrt6}{12}$이다.