자연계열 (오전) 5번

(풀이) 집합 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle t=3^x$($\displaystyle t>0$)라 하자. 산술평균・기하평균의 관계로부터$\displaystyle t+\frac7t\ge2\sqrt{t\times\frac7t}=2\sqrt7$이다. (단, 등호는 $\displaystyle t=\frac7t$일 때, 즉, $\displaystyle t=\sqrt7$일 때 성립한다.) 따라서, 집합 $\displaystyle A$에서의 식 $\displaystyle 3^x+\frac7{3^x}$은 $\displaystyle x=\log_3\sqrt7$에서 최솟값을 가진다. 즉, $\displaystyle a=2\sqrt7$인 경우에$\displaystyle A=\left\{x\;\middle|\;3^x+\frac7{3^x}=2\sqrt7\right\}=\{\log_3\sqrt7\}$이다. 따라서, $\displaystyle p=2\sqrt7$, $\displaystyle q=\log_3\sqrt7$이고,

문제에서 구하고자 하는 값은$\displaystyle p+3^q=2\sqrt7+\sqrt7=3\sqrt7$이다.

(풀이) 집합 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$에서 $\displaystyle t=3^x$라 하면,$\displaystyle A\subset B\ \Leftrightarrow\ \{t\mid t^2-at+7\le0,\ t>0\}\subset\{t\mid t^2-(a+1)t+8\le0,\ t>0\}$이다. 여기서, 방정식 $\displaystyle t^2-at+7=0$에 대해 살펴보면, 판별식 $\displaystyle D=a^2-28>0$이므로 두 실근이 존재한다. 두 실근을 각각 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$($\displaystyle \alpha<\beta$)라 하면, $\displaystyle \alpha+\beta=a>0$이고 $\displaystyle \alpha\beta=7>0$이므로 $\displaystyle \alpha>0$이고 $\displaystyle \beta>0$이다. 또한, 방정식 $\displaystyle t^2-(a+1)t+8=0$에 대해 살펴보면, 판별식 $\displaystyle D=(a+1)^2-32>0$이므로 두 실근이 존재하고, 각각을 $\displaystyle \alpha_1$, $\displaystyle \beta_1$($\displaystyle \alpha_1<\beta_1$)이라 하자. $\displaystyle \alpha_1+\beta_1=a+1>0$이고 $\displaystyle \alpha_1\beta_1=8>0$이므로 $\displaystyle \alpha_1>0$이고 $\displaystyle \beta_1>0$이다. $\displaystyle A\subset B$를 만족시키기 위해서는 $\displaystyle \alpha_1\le\alpha$이고 $\displaystyle \beta\le\beta_1$이어야 하므로, 두 함수 $\displaystyle f(t)=t^2-at+7$, $\displaystyle g(t)=t^2-(a+1)t+8$ 사이의 관계는 아래 그림과 같다.

그림으로부터 $\displaystyle g(\alpha)\le0$, $\displaystyle g(\beta)\le0$이고, $\displaystyle \alpha^2-a\alpha+7=0$, $\displaystyle \beta^2-a\beta+7=0$이므로 이를 정리하면$\displaystyle g(\alpha)=\alpha^2-a\alpha+7+(-\alpha+1)=-\alpha+1\le0$$\displaystyle g(\beta)=\beta^2-a\beta+7+(-\beta+1)=-\beta+1\le0$이다. 즉, $\displaystyle 1\le\alpha$이고 $\displaystyle 1\le\beta$이다.

이차방정식 $\displaystyle f(t)=0$의 두 실근 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$가 모두 $\displaystyle 1$보다 크거나 같으려면 $\displaystyle f(1)\ge0$이고, 이를 정리하면 $\displaystyle a\le8$이다. 따라서, 문제에서 구하고자 하는 $\displaystyle A\subset B$를 만족시키는 실수 $\displaystyle a$의 최댓값은 $\displaystyle 8$이다.