자연계열 (오후) 5번

(ⅰ) $\displaystyle n=1$일 때, 조건 (가)에 의해 $\displaystyle a=1$이다. 또한, 조건 (다)로부터$\displaystyle 2-\frac13-1<b\le3+\frac1{-1}\ \Leftrightarrow\ \frac23<b\le2$이므로, $\displaystyle b=1$, $\displaystyle 2$이다. 문제의 조건을 만족시키는 $\displaystyle (a,b)$의 순서쌍은 $\displaystyle (1,1)$, $\displaystyle (1,2)$이므로, $\displaystyle A_1=2$이다.

(ⅱ) $\displaystyle n=2$일 때, 조건 (가)에 의해 $\displaystyle a=1$, $\displaystyle 2$이다.① $\displaystyle a=1$일 때, 조건 (다)로부터$\displaystyle 3-\frac14-1<b\le4+\frac1{-2}\ \Leftrightarrow\ \frac74<b\le\frac72$이므로, $\displaystyle b=2$, $\displaystyle 3$이다.② $\displaystyle a=2$일 때, 조건 (다)로부터$\displaystyle 3-\frac14-2<b\le4+\frac1{-1}\ \Leftrightarrow\ \frac34<b\le3$이므로, $\displaystyle b=1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$이다. 문제의 조건을 만족시키는 $\displaystyle (a,b)$의 순서쌍은 $\displaystyle (1,2)$, $\displaystyle (1,3)$, $\displaystyle (2,1)$, $\displaystyle (2,2)$, $\displaystyle (2,3)$이므로, $\displaystyle A_2=5$이다.

(풀이) $\displaystyle n$이하의 자연수 $\displaystyle a$가 주어질 때, 문제의 조건을 만족시키는 $\displaystyle (a,b)$의 순서쌍의 개수를 구해보자. 조건 (다)의 부등식을 정리하면$\displaystyle n-a+\left(1-\frac1{n+2}\right)<b\le n+2+\frac1{-1-(n-a)}$ --- ①이다. $\displaystyle 0<1-\frac1{n+2}<1$이고 $\displaystyle -1\le\frac1{-1-(n-a)}<0$이므로, 식 ①로부터 자연수 $\displaystyle b$는$\displaystyle b=n-a+1,\ n-a+2,\ \cdots,\ n+1$이다. 문제의 조건을 만족시키는 $\displaystyle (a,b)$의 순서쌍은$\displaystyle (a,n-a+1),\ (a,n-a+2),\ \cdots,\ (a,n+1)$이다. $\displaystyle n$이하의 자연수 $\displaystyle a$가 주어질 때, 문제의 조건을 만족시키는 $\displaystyle (a,b)$의 순서쌍의 개수는 $\displaystyle a+1$이므로, 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 문제의 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$의 개수 $\displaystyle A_n$은$\displaystyle A_n=\sum_{a=1}^n(a+1)=\frac{n(n+1)}2+n=\frac12(n^2+3n)$이다. 따라서, 문제에서 구하고자 하는 값은$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{20}A_n&=\frac12\sum_{n=1}^{20}(n^2+3n)\\&=\frac12\left(\frac{20\times21\times41}{6}+3\times\frac{20\times21}{2}\right)\\&=1750\end{aligned}$이다.