자연계열 (오전) 4번

(풀이) 점 $\displaystyle \mathrm{R}_n$의 좌표가 $\displaystyle (a_n,b_n)$이므로$\displaystyle b_n=\frac12a_n^2$ --- ①이고, 점 $\displaystyle \mathrm{S}_n$의 좌표는 $\displaystyle (-b_n,b_n)$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{S}_n\mathrm{R}_n}=n$으로부터 $\displaystyle a_n+b_n=n$이므로$\displaystyle a_n+\frac12a_n^2=n$ --- ②이다. $\displaystyle n=1$일 때, 식 ②로부터 $\displaystyle a_1=\sqrt3-1$($\displaystyle a_1>0$)이고, 식 ①에 대입하면 $\displaystyle b_1=2-\sqrt3$이다. 마찬가지로 $\displaystyle n=4$일 때, 식 ②로부터 $\displaystyle a_4=2$($\displaystyle a_4>0$)이고, 식 ①에 대입하면 $\displaystyle b_4=2$이다. 따라서, 문제에서 구하고자 하는 값은$\displaystyle a_1^2+b_1^2+a_4^2+b_4^2=(4-2\sqrt3)+(7-4\sqrt3)+4+4=19-6\sqrt3$이다.

(풀이) $\displaystyle a_n+b_n=n$이므로 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$의 값이 모두 자연수이거나, 모두 자연수가 아니다. 만약 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$의 값이 모두 자연수이면 $\displaystyle A_n=(n+1)^2$이고, 만약 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$의 값이 모두 자연수가 아니면 $\displaystyle A_n=n^2$이다. 한편, 식 ②로부터$\displaystyle a_n=-1+\sqrt{1+2n}$이고, $\displaystyle a_n$이 자연수가 되기 위해서는 $\displaystyle 1+2n$이 제곱수가 되어야 한다. 그런데, $\displaystyle 1+2n$은 홀수이므로 $\displaystyle 1+2n$은 홀수의 제곱수, 즉$\displaystyle 1+2n=3^2,\ 5^2,\ 7^2,\ \cdots\ \Leftrightarrow\ n=4,\ 12,\ 24,\ \cdots$이다. 정리하면$\displaystyle A_n=\begin{cases}(n+1)^2&(n=4,12,24,\cdots)\\n^2&(n\ne4,12,24,\cdots)\end{cases}$이다. 따라서, 문제에서 구하고자 하는 값은$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{20}A_n&=\sum_{n=1}^{20}n^2+(2\times4+1)+(2\times12+1)\\&=\frac{20\times21\times41}{6}+9+25\\&=2904\end{aligned}$이다.