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해설강의 준비중
한국기술교육대 2022학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2022su/jayeon_pm_2
(1) 실수 a의 값을 모두 구하시오. (10점)
+5점 · 함수 f(x)가 x=a, −31a에서 극값을 가짐을 보일 수 있다.+5점 · a=3, −3을 구할 수 있다.
(풀이) 0이 아닌 실수 a에 대하여f′(x)=3x2−2ax−a2=(x−a)(3x+a)이므로, 함수 f(x)는 x=a, −31a에서 극값을 갖는다. 함수 f(x)의 모든 극값의 합은f(a)+f(−31a)=(a3−a3−a3+1)+(−271a3−91a3+31a3+1)=−2722a3+2이므로, 조건 (나)에 의해−2722a3+2=−322a+2이다. 따라서, a=3, −3이다.
(2) x≥0인 모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)+a2>0을 만족시킬 때, f(3)의 값을 구하시오. (10점)
(풀이)
(ⅰ) a=3일 때, 함수 f(x)=x3−3x2−9x+1는 x=3, −1에서 극값을 가지므로 그래프의 개형은 다음과 같다.
x≥0에서 함수 f(x)의 최솟값은 f(3)=−26이므로, x≥0인 모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)>−a2=−9가 성립하지 않는다.
(ⅱ) a=−3일 때, 함수 f(x)=x3+3x2−9x+1는 x=−3, 1에서 극값을 가지므로 그래프의 개형은 다음과 같다.
x≥0에서 함수 f(x)의 최솟값은 f(1)=−4이므로, x≥0인 모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)>−a2=−9가 성립한다.
+5점 · 문제의 조건을 만족시키는 a=−3을 구할 수 있다.+5점 · f(3)=28을 구할 수 있다.
(ⅰ)과 (ⅱ)의 결과를 종합하면, a=−3인 경우에만 문제의 조건을 만족하므로 함수 f(x)는f(x)=x3+3x2−9x+1이다. 따라서, 문제에서 구하고자 하는 값은 f(3)=28이다.
수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.
