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자연계열 B 3번

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세종대 2021학년도 수시 자연계열 B 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2021su/jayeonb_3

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[문제 3] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 집합 Af\displaystyle A_f를 다음과 같이 정의하자.

Af={m∈R∣모든 실수 x에 대하여 f(x)≥f(0)+mx가 성립한다.}\displaystyle A_f=\{m\in\mathbb R\mid\text{모든 실수 }x\text{에 대하여 }f(x)\ge f(0)+mx\text{가 성립한다.}\}

예를 들어, f(x)=∣x∣\displaystyle f(x)=|x|에 대하여 집합 Af\displaystyle A_f는 Af={m∣−1≤m≤1}\displaystyle A_f=\{m\mid-1\le m\le1\}이다.

다음 물음에 각각 답하시오.

(3-1) f(x)=x3\displaystyle f(x)=x^3에 대하여 Af\displaystyle A_f는 공집합이 됨을 보이시오. (80점)

(3-2) 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 이계도함수 f′′(x)\displaystyle f\prime\prime(x)가 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f′′(x)≥0\displaystyle f\prime\prime(x)\ge0을 만족하면, f′(0)∈Af\displaystyle f\prime(0)\in A_f가 성립함을 보이시오. (단, 그림을 이용한 직관적인 설명은 허용하지 않습니다.) (80점)

(3-3) 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 이계도함수 f′′(x)\displaystyle f\prime\prime(x)가 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f′′(x)≥0\displaystyle f\prime\prime(x)\ge0을 만족하면, 실제로 Af={f′(0)}\displaystyle A_f=\{f\prime(0)\}가 됨을 보이시오. (단, 그림을 이용한 직관적인 설명은 허용하지 않습니다.) (80점)

해설강의 준비중

세종대 2021학년도 수시 자연계열 B 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2021su/jayeonb_3

[문제 3]

(3-1) 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 x3≥mx\displaystyle x^3\ge mx를 만족시키는 실수 m\displaystyle m이 존재하지 않음을 보이면 된다. m\displaystyle m의 조건에 따라 부등식 x3−mx=x(x2−m)≥0\displaystyle x^3-mx=x(x^2-m)\ge0을 풀면,

+30점 · m≤0\displaystyle m\le0일 때 해집합 맞게 구하면

(i) m≤0\displaystyle m\le0일 때 해집합은 {x∣x≥0}\displaystyle \{x\mid x\ge0\}

+30점 · m>0\displaystyle m>0일 때 해집합 맞게 구하면

(ii) m>0\displaystyle m>0일 때 해집합은 {x∣−m≤x≤0 또는 x≥m}\displaystyle \{x\mid-\sqrt m\le x\le0\text{ 또는 }x\ge\sqrt m\}

+20점 · Af=∅\displaystyle A_f=\varnothing임을 논리적으로 설명하면

이므로 모든 실수 x\displaystyle x에 대해 x3≥mx\displaystyle x^3\ge mx를 만족시키는 실수 m\displaystyle m은 존재하지 않는다.따라서 Af=∅\displaystyle A_f=\varnothing이다.

(3-2) g(x)=f(x)−f(0)−f′(0)x\displaystyle g(x)=f(x)-f(0)-f\prime(0)x라 할 때, g(x)\displaystyle g(x)의 최솟값이 0\displaystyle 0보다 크거나 같음을 보이면 된다.

+30점 · g′′(x)≥0\displaystyle g\prime\prime(x)\ge0을 이용하여 g′(x)\displaystyle g\prime(x)가 증가함수임을 보이면

g′(x)=f′(x)−f′(0)\displaystyle g\prime(x)=f\prime(x)-f\prime(0)의 도함수에 대해 g′′(x)=f′′(x)≥0\displaystyle g\prime\prime(x)=f\prime\prime(x)\ge0가 성립하므로 g′(x)\displaystyle g\prime(x)는 실수 전체의 집합에서 증가함수이다.

+10점 · g(0)=0\displaystyle g(0)=0을 언급하면
+30점 · g(x)\displaystyle g(x)의 최솟값이 0임을 보이면

즉 g′(x)\displaystyle g\prime(x)는 g′(0)=0\displaystyle g\prime(0)=0인 증가함수이므로 x<0\displaystyle x<0에 대하여 g′(x)≤0\displaystyle g\prime(x)\le0이 성립하고, x>0\displaystyle x>0에 대하여 g′(x)≥0\displaystyle g\prime(x)\ge0이 성립한다. 따라서 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 x=0\displaystyle x=0에서 최솟값 g(0)=0\displaystyle g(0)=0을 갖는다.

+10점 · 결론 f′(0)∈Af\displaystyle f\prime(0)\in A_f을 논리적으로 도출하면

즉, 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f(x)−f(0)−f′(0)x≥0\displaystyle f(x)-f(0)-f\prime(0)x\ge0이 성립하므로 f′(0)∈Af\displaystyle f\prime(0)\in A_f이다.

(3-3) (3-2)에 의해 m∈Af\displaystyle m\in A_f이면 m=f′(0)\displaystyle m=f\prime(0)임을 보이면 된다.

m∈Af\displaystyle m\in A_f라 하면, 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f(x)≥f(0)+mx\displaystyle f(x)\ge f(0)+mx이므로

+30점 · lim⁡x→0+f(x)−f(0)x≥m\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{f(x)-f(0)}x\ge m임을 보이면

(i) x>0\displaystyle x>0일 때, f(x)−f(0)x≥m\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}x\ge m로부터 f′(0)=lim⁡x→0+f(x)−f(0)x≥m\displaystyle f\prime(0)=\lim_{x\to0+}\frac{f(x)-f(0)}x\ge m이 성립하고

+30점 · lim⁡x→0−f(x)−f(0)x≤m\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{f(x)-f(0)}x\le m임을 보이면

(ii) x<0\displaystyle x<0일 때, f(x)−f(0)x≤m\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}x\le m로부터 f′(0)=lim⁡x→0−f(x)−f(0)x≤m\displaystyle f\prime(0)=\lim_{x\to0-}\frac{f(x)-f(0)}x\le m이 성립한다.

+20점 · f′(0)=m\displaystyle f\prime(0)=m임을 보이면

따라서 m∈Af\displaystyle m\in A_f인 임의의 m\displaystyle m에 대해 m=f′(0)\displaystyle m=f\prime(0)이 성립하므로 Af={f′(0)}\displaystyle A_f=\{f\prime(0)\}이다.

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