자연계열 B 3번

(i) $\displaystyle m\le0$일 때 해집합은 $\displaystyle \{x\mid x\ge0\}$

(ii) $\displaystyle m>0$일 때 해집합은 $\displaystyle \{x\mid-\sqrt m\le x\le0\text{ 또는 }x\ge\sqrt m\}$

이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle x^3\ge mx$를 만족시키는 실수 $\displaystyle m$은 존재하지 않는다.따라서 $\displaystyle A_f=\varnothing$이다.

$\displaystyle g\prime(x)=f\prime(x)-f\prime(0)$의 도함수에 대해 $\displaystyle g\prime\prime(x)=f\prime\prime(x)\ge0$가 성립하므로 $\displaystyle g\prime(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가함수이다.

즉 $\displaystyle g\prime(x)$는 $\displaystyle g\prime(0)=0$인 증가함수이므로 $\displaystyle x<0$에 대하여 $\displaystyle g\prime(x)\le0$이 성립하고, $\displaystyle x>0$에 대하여 $\displaystyle g\prime(x)\ge0$이 성립한다. 따라서 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 최솟값 $\displaystyle g(0)=0$을 갖는다.

즉, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)-f(0)-f\prime(0)x\ge0$이 성립하므로 $\displaystyle f\prime(0)\in A_f$이다.

(i) $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}x\ge m$로부터 $\displaystyle f\prime(0)=\lim_{x\to0+}\frac{f(x)-f(0)}x\ge m$이 성립하고

(ii) $\displaystyle x<0$일 때, $\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}x\le m$로부터 $\displaystyle f\prime(0)=\lim_{x\to0-}\frac{f(x)-f(0)}x\le m$이 성립한다.

따라서 $\displaystyle m\in A_f$인 임의의 $\displaystyle m$에 대해 $\displaystyle m=f\prime(0)$이 성립하므로 $\displaystyle A_f=\{f\prime(0)\}$이다.