자연계열 C 3번

(3-1) $\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$이므로 $\displaystyle \cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha$가 성립한다. 따라서 $\displaystyle \sin^2\alpha=\frac{1-\cos(2\alpha)}2$임을 이용하여 적분 식을 변형하면 다음과 같이 구할 수 있다.Correction. (3-1) 첫 줄의 코사인 덧셈정리에서 덧셈 부호는 뺄셈 부호의 오기이다.$\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$뒤의 배각공식과 적분값은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.

$\displaystyle \int_0^1\sin^2(\pi x)\,dx=\frac12\int_0^1(1-\cos(2\pi x))\,dx=\frac12\Biggl[x-\frac{\sin(2\pi x)}{2\pi}\Biggr]_0^1=\frac12$

치환적분과 적분의 성질 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx+\int_b^cf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx$를 이용하면 아래 식(*)가 성립한다.$\displaystyle a_n=\int_0^1f(x)g(nx)\,dx=\frac1n\int_0^nf\left(\frac tn\right)g(t)\,dt=\frac1n\sum_{k=1}^n\int_{k-1}^kf\left(\frac tn\right)g(t)\,dt\quad\cdots(*)$

일반적으로 함수 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle a\le x\le b$에서 $\displaystyle h(x)\ge0$이면 정적분과 넓이의 관계에 의해 $\displaystyle \int_a^bh(x)\,dx\ge0$이 성립한다. 따라서 식 (*)의 $\displaystyle k-1\le x\le k$에서 $\displaystyle f(x)$가 증가함수이고 $\displaystyle g(x)\ge0$임을 이용하면, $\displaystyle f\left(\frac tn\right)g(t)\le f\left(\frac kn\right)g(t)\Leftrightarrow f\left(\frac kn\right)g(t)-f\left(\frac tn\right)g(t)\ge0$로부터Correction. (3-2) 식 (*) 아래에서 $\displaystyle t$에 관하여 적분하므로, 구간 $\displaystyle k-1\le x\le k$의 $\displaystyle x$와 해당 부등식 적분의 $\displaystyle dx$는 각각 $\displaystyle t$, $\displaystyle dt$의 오기이다. 바로 다음 줄도 $\displaystyle dt$를 사용한다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle \int_{k-1}^k\left(f\left(\frac kn\right)g(t)-f\left(\frac tn\right)g(t)\right)\,dx\ge0$이 성립한다. 이때, $\displaystyle \int_{k-1}^kf\left(\frac kn\right)g(t)\,dt=f\left(\frac kn\right)\int_{k-1}^kg(t)\,dt$이고,

$\displaystyle g(x)$는 주기가 1인 함수임을 이용하면 위의 식 (*)에서$\displaystyle a_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\int_{k-1}^kf\left(\frac tn\right)g(t)\,dt\le\frac1n\sum_{k=1}^nf\left(\frac kn\right)\int_{k-1}^kg(t)\,dt=\left(\frac1n\sum_{k=1}^nf\left(\frac kn\right)\right)\int_0^1g(t)\,dt$가 성립한다. 따라서 (3-1)에서 구한 적분값 $\displaystyle \int_0^1g(t)\,dt=\frac12$를 대입하면$\displaystyle a_n\le\frac1{2n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac kn\right)$이 성립한다.

(3-3) (3-2)와 동일한 방법으로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \frac1{2n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k-1}n\right)\le a_n\le\frac1{2n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac kn\right)$

이 성립하고, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k-1}n\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nf\left(\frac kn\right)=\int_0^1f(x)\,dx$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac12\int_0^1f(x)\,dx$이다.

한편,$\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1\frac{e^x}{1+e^x}\,dx=\int_0^1\frac{(1+e^x)\prime}{1+e^x}\,dx=\int_0^1(\ln(1+e^x))\prime\,dx=\ln(1+e)-\ln2$이므로구하는 값은 $\displaystyle \ln\sqrt{\frac{1+e}2}$이다. ($\displaystyle \frac12(\ln(1+e)-\ln2)$, $\displaystyle \frac12\ln\left(\frac{1+e}2\right)$ 모두 정답)