자연계열 B 2번

(2-1) ‘+1’이 나온 횟수를 $\displaystyle X$라 하면 평균은 $\displaystyle m=\frac{X-(10-X)}{10}=\frac{2X-10}{10}$이고 적힌 수의 제곱의 합은 $\displaystyle 10$이므로

분산은 $\displaystyle V(X)=\frac{10}{10}-\left(\frac{2X-10}{10}\right)^2=1-\left(\frac X5-1\right)^2$이다.

조건으로부터$\displaystyle 0.2\le V(X)\le0.4\ \Leftrightarrow\ 0.6\le\left(\frac X5-1\right)^2\le0.8\ \Leftrightarrow\ 15\le(X-5)^2\le20$이므로 $\displaystyle (X-5)^2=16$이고 $\displaystyle X=1$ 또는 $\displaystyle 9$이다.

(2-2) $\displaystyle a>b>c$를 만족하는 $\displaystyle (a,b,c)$는 $\displaystyle (5,4,1)$ 또는 $\displaystyle (5,3,2)$뿐이다.

그러므로 $\displaystyle A,B,C$가 ‘+1’이 적힌 공을 각각 $\displaystyle a,b,c$개씩 가질 확률은 아래와 같다.

따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{5^3}{11\cdot13\cdot17\cdot19}$이므로 구하는 답은 $\displaystyle 125$이다.

(2-3) (단계 1) 묶음의 수가 $\displaystyle 5$개가 될 방법은 ‘+1’의 묶음으로 시작하거나 ‘-1’의 묶음으로 시작하는 두 가지 경우가 있으며, 두 경우에 따른 방법의 수는 동일하다.

(단계 3) (단계 2)에서 같은 수가 적힌 $\displaystyle 10$개의 공을 $\displaystyle k$ ($\displaystyle k=3$ 또는 $\displaystyle k=2$)개의 묶음으로 구성하는 방법의 수는 $\displaystyle 10$개의 동일한 공을 서로 다른 $\displaystyle k$개의 상자에 빈 상자 없이 나누어 넣는 방법의 수와 동일하고, $\displaystyle X_1+X_2+\cdots+X_k=10$을 만족하는 양의 정수해의 개수와 같다.그러므로 방법의 수는 $\displaystyle {}_k\mathrm H_{10-k}={}_9\mathrm C_{k-1}$이다.(단계 4) ‘+1’이 적힌 $\displaystyle 10$개의 공을 $\displaystyle 3$개의 묶음으로, ‘-1’이 적힌 $\displaystyle 10$개의 공은 $\displaystyle 2$개의 묶음으로 나누는 방법의 수는 $\displaystyle {}_3\mathrm H_7\times{}_2\mathrm H_8={}_9\mathrm C_2\times{}_9\mathrm C_1=36\times9=324$이다.

(단계 5) 전체 묶음의 수가 $\displaystyle 5$개가 되는 방법의 수는 $\displaystyle 2\times36\times9=648$이다.