자연계열 B 2번

세종대 2021학년도 수시 자연계열 B 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2021su/jayeonb_2

[문제 2] 상자 안에 ‘+1’이 적힌 공 $\displaystyle 10$ 개와 ‘-1’이 적힌 공 $\displaystyle 10$ 개가 들어 있다.

다음 물음에 각각 답하시오.

(2-1) 상자에서 임의로 공을 한 개 꺼내 나온 수를 기록하고 다시 넣는 시행을 반복하였다. $\displaystyle 10$ 번을 반복할 때 공에 적힌 수의 분산이 $\displaystyle 0.2$ 이상 $\displaystyle 0.4$ 이하였다면, ‘+1’이 몇 번 나왔는지 가능한 횟수를 모두 구하시오. (70점)

(2-2) 상자에서 $\displaystyle A$ 가 $\displaystyle 5$ 개의 공을 임의로 꺼낸 후, $\displaystyle B$ 가 $\displaystyle 5$ 개의 공을 임의로 꺼내고, $\displaystyle C$ 는 나머지 공을 가진다. $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ , $\displaystyle C$ 가 가진 공 중에서 ‘+1’이 적힌 공의 개수를 각각 $\displaystyle a,b,c$ 라 하자. $\displaystyle a>b>c$ 일 확률을 $\displaystyle \frac qp$ 로 나타낼 때 $\displaystyle q$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 는 서로소인 자연수이다.) (80점)

(2-3) 공 $\displaystyle 20$ 개를 잘 섞어서 일렬로 나열하였다. 이때 같은 수끼리 연속되어 있는 부분을 하나의 묶음이라 하자. 예를 들어 ‘+1 +1 -1 -1 +1’에는 묶음이 $\displaystyle 3$ 개 있고, ‘-1 +1 -1 +1 +1’에는 묶음이 $\displaystyle 4$ 개 있다. 묶음이 $\displaystyle 5$ 개가 되도록 공 $\displaystyle 20$ 개를 일렬로 나열하는 방법의 수를 구하시오. (80점)

해설강의 준비중

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[문제 2]

각각 +10점 · 확률변수를 정의하고 합과 제곱합을 알면

(2-1) ‘+1’이 나온 횟수를 $\displaystyle X$ 라 하면 평균은 $\displaystyle m=\frac{X-(10-X)}{10}=\frac{2X-10}{10}$ 이고 적힌 수의 제곱의 합은 $\displaystyle 10$ 이므로

+20점 · 분산의 식을 세우면

분산은 $\displaystyle V(X)=\frac{10}{10}-\left(\frac{2X-10}{10}\right)^2=1-\left(\frac X5-1\right)^2$ 이다.

+30점 · 부등식을 풀어

\displaystyle X

의 값을 정확하게 구하면

조건으로부터 $\displaystyle 0.2\le V(X)\le0.4\ \Leftrightarrow\ 0.6\le\left(\frac X5-1\right)^2\le0.8\ \Leftrightarrow\ 15\le(X-5)^2\le20$ 이므로 $\displaystyle (X-5)^2=16$ 이고 $\displaystyle X=1$ 또는 $\displaystyle 9$ 이다.

+20점 ·

\displaystyle (a,b,c)

의 가능한 경우가

\displaystyle (5,4,1)

\displaystyle (5,3,2)

임을 보이면

(2-2) $\displaystyle a>b>c$ 를 만족하는 $\displaystyle (a,b,c)$ 는 $\displaystyle (5,4,1)$ 또는 $\displaystyle (5,3,2)$ 뿐이다.

각각 +20점 · 각 경우의 확률식을 옳게 구하면

그러므로 $\displaystyle A,B,C$ 가 ‘+1’이 적힌 공을 각각 $\displaystyle a,b,c$ 개씩 가질 확률은 아래와 같다.

$\displaystyle a$	$\displaystyle b$	$\displaystyle c$	확률
5	4	1	$\displaystyle \frac{{}_{10}\mathrm C_5}{{}_{20}\mathrm C_5}\times\frac{{}_5\mathrm C_4\times{}_{10}\mathrm C_1}{{}_{15}\mathrm C_5}\times\frac{{}_1\mathrm C_1\times{}_9\mathrm C_9}{{}_{10}\mathrm C_{10}}$
5	3	2	$\displaystyle \frac{{}_{10}\mathrm C_5}{{}_{20}\mathrm C_5}\times\frac{{}_5\mathrm C_3\times{}_{10}\mathrm C_2}{{}_{15}\mathrm C_5}\times\frac{{}_2\mathrm C_2\times{}_8\mathrm C_8}{{}_{10}\mathrm C_{10}}$

+20점 · 답을 정확히 구하면

따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{5^3}{11\cdot13\cdot17\cdot19}$ 이므로 구하는 답은 $\displaystyle 125$ 이다.

+20점 · 묶음의 수가 5인 경우가 2가지 임을 알면

(2-3) (단계 1) 묶음의 수가 $\displaystyle 5$ 개가 될 방법은 ‘+1’의 묶음으로 시작하거나 ‘-1’의 묶음으로 시작하는 두 가지 경우가 있으며, 두 경우에 따른 방법의 수는 동일하다.

(단계 2) ‘+1’의 묶음으로 시작하여 $\displaystyle 5$ 개의 묶음이 된다면 ‘+1’로 구성된 묶음의 수가 $\displaystyle 3$ 개, ‘-1’로 구성된 묶음의 수가 $\displaystyle 2$ 개이어야 한다.

각각 +20점 · 묶음의 수가

\displaystyle k=2,3

인 경우의 방법의 수를 각각 구하면 (

\displaystyle {}_9\mathrm C_2

를 계산하는 부분과

\displaystyle {}_9\mathrm C_1

을 계산하는 부분이 있는지를 각각 확인)

(단계 3) (단계 2)에서 같은 수가 적힌 $\displaystyle 10$ 개의 공을 $\displaystyle k$ ( $\displaystyle k=3$ 또는 $\displaystyle k=2$ )개의 묶음으로 구성하는 방법의 수는 $\displaystyle 10$ 개의 동일한 공을 서로 다른 $\displaystyle k$ 개의 상자에 빈 상자 없이 나누어 넣는 방법의 수와 동일하고, $\displaystyle X_1+X_2+\cdots+X_k=10$ 을 만족하는 양의 정수해의 개수와 같다.그러므로 방법의 수는 $\displaystyle {}_k\mathrm H_{10-k}={}_9\mathrm C_{k-1}$ 이다.(단계 4) ‘+1’이 적힌 $\displaystyle 10$ 개의 공을 $\displaystyle 3$ 개의 묶음으로, ‘-1’이 적힌 $\displaystyle 10$ 개의 공은 $\displaystyle 2$ 개의 묶음으로 나누는 방법의 수는 $\displaystyle {}_3\mathrm H_7\times{}_2\mathrm H_8={}_9\mathrm C_2\times{}_9\mathrm C_1=36\times9=324$ 이다.

+20점 · 답:

\displaystyle 2\times36\times9

또는 648가지를 구하면

(단계 5) 전체 묶음의 수가 $\displaystyle 5$ 개가 되는 방법의 수는 $\displaystyle 2\times36\times9=648$ 이다.

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