자연계열 D 2번

$\displaystyle \mathrm E(X)=\frac1{35}(1\cdot12+2\cdot18+3\cdot4)=\frac{12}7$,

$\displaystyle \mathrm V(X)=\frac{24}{49}$이다.

상금을 $\displaystyle Y$라 하면 $\displaystyle Y=5000X+3000(4-X)=12000+2000X$이므로 $\displaystyle Y$의

표준편차는 $\displaystyle \sigma(Y)=\sigma(12000+2000X)=2000\sigma(X)=\frac{4000\sqrt6}7$이다.

(2-2) 첫 번째 시도에서 나온 수를 $\displaystyle a$, 두 번째 시도에서 나온 수를 $\displaystyle b$라 하자.

$\displaystyle (a,b)=(1,1)$이고 세 번째 시도에서 1이 나올 확률은 $\displaystyle \frac46\times\frac57\times\frac68=\frac5{14}$,$\displaystyle (a,b)=(1,0)$이고 세 번째 시도에서 1이 나올 확률은 $\displaystyle \frac46\times\frac27\times\frac56=\frac{10}{63}$,$\displaystyle (a,b)=(0,1)$이고 세 번째 시도에서 1이 나올 확률은 $\displaystyle \frac26\times\frac45\times\frac56=\frac29$,$\displaystyle (a,b)=(0,0)$이고 세 번째 시도에서 1이 나올 확률은 $\displaystyle \frac26\times\frac15\times\frac44=\frac1{15}$

이다. 따라서 네 경우의 확률을 모두 더하면 $\displaystyle \frac{169}{210}$이 구하는 확률이다.

(2-3) $\displaystyle k$번 공을 뽑아 구한 수의 합을 확률변수 $\displaystyle Y$라 하면, $\displaystyle Y=kX$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm B(k,0.5)$를 따르고 평균은 $\displaystyle \frac k2$, 분산은 $\displaystyle \frac k4$이다.

$\displaystyle k$가 충분히 크면 $\displaystyle Y$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle \mathrm N\left(\frac k2,\frac k4\right)$를 따르므로 $\displaystyle Z=\frac{Y-k/2}{\sqrt{k/4}}$는 표준정규분포를 따른다.

$\displaystyle \mathrm P(0.4\le X\le0.6)=\mathrm P(0.4k\le Y\le0.6k)=\mathrm P\left(\left|\frac{Y-\frac k2}{\sqrt{\frac k4}}\right|\le\frac{0.1k}{\sqrt{\frac k4}}\right)=\mathrm P(|Z|\le0.2\sqrt k)\ge0.95$

그러므로 $\displaystyle 0.2\sqrt k\ge1.96$를 만족하는 자연수 $\displaystyle k$의 최솟값은 97이다.