자연계열 D 3번

(3-1) $\displaystyle \frac{dx}{dt}=f\prime(t)\cos(t^2-2t)-f(t)(2t-2)\sin(t^2-2t)$이고$\displaystyle \frac{dy}{dt}=f\prime(t)\sin(t^2-2t)+f(t)(2t-2)\cos(t^2-2t)$이므로

$\displaystyle \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2=(f\prime(t))^2+f(t)^2(2t-2)^2$이다.

$\displaystyle \sqrt{(f\prime(x))^2+f(x)^2(2x-2)^2}=e^x\sqrt{4(x^2-1)^2+(x+2)^2}$이다.

$\displaystyle (f\prime(x))^2+f(x)^2(2x-2)^2=e^{2x}(4(x^2-1)^2+(x+2)^2)$이므로 $\displaystyle x=1$을 대입하면 $\displaystyle (f\prime(1))^2=9e^2$이고 $\displaystyle f\prime(1)=3e$이다.

$\displaystyle (f\prime(x))^2-(x+2)^2e^{2x}=-f(x)^2(2x-2)^2+4e^{2x}(x^2-1)^2=(2x-2)^2(-f(x)^2+e^{2x}(x+1)^2)$이므로

$\displaystyle (f\prime(x)^2-(x+2)^2e^{2x})(f(x)^2-(x+1)^2e^{2x})=-(2x-2)^2(f(x)^2-(x+1)^2e^{2x})^2\le0$이다.

$\displaystyle f\prime(x)+(x+2)e^x>0$이고 $\displaystyle f(x)+(x+1)e^x>0$이므로

(3-3) $\displaystyle a>0$인 실수에 대하여$\displaystyle \int_0^a(f\prime(x)-(x+2)e^x)(f(x)-(x+1)e^x)\,dx\le0$이고

$\displaystyle \int_0^a(f\prime(x)-(x+2)e^x)(f(x)-(x+1)e^x)\,dx=\Biggl[\frac12(f(x)-(x+1)e^x)^2\Biggr]_0^a=\frac12(f(a)-(a+1)e^a)^2\le0$

이므로 $\displaystyle f(a)=(a+1)e^a$이고 $\displaystyle f(x)$의 연속성으로부터 모든 실수 $\displaystyle x\ge0$에 대해$\displaystyle f(x)=(x+1)e^x$이다.