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자연계열 D 3번

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세종대 2021학년도 수시 자연계열 D 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2021su/jayeond_3

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문제

[문제 3] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 y=f(t)\displaystyle y=f(t)는 다음 조건을 만족한다.

< 조건 >

(가) f(0)=1\displaystyle f(0)=1

(나) t>0\displaystyle t>0인 모든 실수 t\displaystyle t에 대하여 f′(t)>0\displaystyle f\prime(t)>0이다.

t≥0\displaystyle t\ge0에 대하여 매개변수 방정식

x(t)=f(t)cos⁡(t2−2t), y(t)=f(t)sin⁡(t2−2t)\displaystyle x(t)=f(t)\cos(t^2-2t),\ y(t)=f(t)\sin(t^2-2t)

로 정의되는 점 P(x(t),y(t))\displaystyle \mathrm P(x(t),y(t))가 있다. 임의의 양수 a\displaystyle a에 대하여 0≤t≤a\displaystyle 0\le t\le a에서 점 P가 움직인 거리가 ∫0aet4(t2−1)2+(t+2)2 dt\displaystyle \int_0^ae^t\sqrt{4(t^2-1)^2+(t+2)^2}\,dt일 때, 다음 물음에 각각 답하시오.

(3-1) f′(1)\displaystyle f\prime(1)을 구하시오. (80점)

(3-2) 모든 양의 실수 x\displaystyle x에 대하여 (f′(x)−(x+2)ex)(f(x)−(x+1)ex)≤0\displaystyle (f\prime(x)-(x+2)e^x)(f(x)-(x+1)e^x)\le0가 성립함을 보이시오. (80점)

(3-3) x≥0\displaystyle x\ge0에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 구하시오. (80점)

해설강의 준비중

세종대 2021학년도 수시 자연계열 D 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2021su/jayeond_3

[문제 3]

각각 +10점 · dxdt\displaystyle \frac{dx}{dt}와 dydt\displaystyle \frac{dy}{dt}를 구하면

(3-1) dxdt=f′(t)cos⁡(t2−2t)−f(t)(2t−2)sin⁡(t2−2t)\displaystyle \frac{dx}{dt}=f\prime(t)\cos(t^2-2t)-f(t)(2t-2)\sin(t^2-2t)이고dydt=f′(t)sin⁡(t2−2t)+f(t)(2t−2)cos⁡(t2−2t)\displaystyle \frac{dy}{dt}=f\prime(t)\sin(t^2-2t)+f(t)(2t-2)\cos(t^2-2t)이므로

+30점 · (dxdt)2+(dydt)2\displaystyle \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2를 구하면

(dxdt)2+(dydt)2=(f′(t))2+f(t)2(2t−2)2\displaystyle \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2=(f\prime(t))^2+f(t)^2(2t-2)^2이다.

∫0x(f′(t))2+f(t)2(2t−2)2 dt=∫0xet4(t2−1)2+(t+2)2 dt\displaystyle \int_0^x\sqrt{(f\prime(t))^2+f(t)^2(2t-2)^2}\,dt=\int_0^xe^t\sqrt{4(t^2-1)^2+(t+2)^2}\,dt이므로

+20점 · (f′(x))2+f(x)2(2x−2)2=ex4(x2−1)2+(x+2)2\displaystyle \sqrt{(f\prime(x))^2+f(x)^2(2x-2)^2}=e^x\sqrt{4(x^2-1)^2+(x+2)^2}를 구하면

(f′(x))2+f(x)2(2x−2)2=ex4(x2−1)2+(x+2)2\displaystyle \sqrt{(f\prime(x))^2+f(x)^2(2x-2)^2}=e^x\sqrt{4(x^2-1)^2+(x+2)^2}이다.

따라서 모든 양의 실수 x\displaystyle x에 대하여

+10점 · 과정이 맞고 답을 구하면

(f′(x))2+f(x)2(2x−2)2=e2x(4(x2−1)2+(x+2)2)\displaystyle (f\prime(x))^2+f(x)^2(2x-2)^2=e^{2x}(4(x^2-1)^2+(x+2)^2)이므로 x=1\displaystyle x=1을 대입하면 (f′(1))2=9e2\displaystyle (f\prime(1))^2=9e^2이고 f′(1)=3e\displaystyle f\prime(1)=3e이다.

(3-2) 위의 풀이 (f′(x))2+f(x)2(2x−2)2=e2x(4(x2−1)2+(x+2)2)\displaystyle (f\prime(x))^2+f(x)^2(2x-2)^2=e^{2x}(4(x^2-1)^2+(x+2)^2)에서(f′(x))2=−f(x)2(2x−2)2+e2x(4(x2−1)2+(x+2)2)\displaystyle (f\prime(x))^2=-f(x)^2(2x-2)^2+e^{2x}(4(x^2-1)^2+(x+2)^2)이다.

+40점 · (f′(x))2−(x+2)2e2x\displaystyle (f\prime(x))^2-(x+2)^2e^{2x}를 계산하여 오른쪽 항 (*)을 구하면

(f′(x))2−(x+2)2e2x=−f(x)2(2x−2)2+4e2x(x2−1)2=(2x−2)2(−f(x)2+e2x(x+1)2)\displaystyle (f\prime(x))^2-(x+2)^2e^{2x}=-f(x)^2(2x-2)^2+4e^{2x}(x^2-1)^2=(2x-2)^2(-f(x)^2+e^{2x}(x+1)^2)이므로

+20점 · 풀이의 (**)에서 (f′(x)2−(x+2)2e2x)\displaystyle (f\prime(x)^2-(x+2)^2e^{2x})와 (f(x)2−(x+1)2e2x)\displaystyle (f(x)^2-(x+1)^2e^{2x})의 곱이 0보다 작거나 같음을 보이면

(f′(x)2−(x+2)2e2x)(f(x)2−(x+1)2e2x)=−(2x−2)2(f(x)2−(x+1)2e2x)2≤0\displaystyle (f\prime(x)^2-(x+2)^2e^{2x})(f(x)^2-(x+1)^2e^{2x})=-(2x-2)^2(f(x)^2-(x+1)^2e^{2x})^2\le0이다.

각각 +10점 · f′(x)+(x+2)ex>0\displaystyle f\prime(x)+(x+2)e^x>0와 f(x)+(x+1)ex>0\displaystyle f(x)+(x+1)e^x>0를 기술하면

f′(x)+(x+2)ex>0\displaystyle f\prime(x)+(x+2)e^x>0이고 f(x)+(x+1)ex>0\displaystyle f(x)+(x+1)e^x>0이므로

x≥0\displaystyle x\ge0일 때 (f′(x)−(x+2)ex)(f(x)−(x+1)ex)≤0\displaystyle (f\prime(x)-(x+2)e^x)(f(x)-(x+1)e^x)\le0이다.

+30점 · 적분이 ≤0\displaystyle \le0임을 기술하면

(3-3) a>0\displaystyle a>0인 실수에 대하여∫0a(f′(x)−(x+2)ex)(f(x)−(x+1)ex) dx≤0\displaystyle \int_0^a(f\prime(x)-(x+2)e^x)(f(x)-(x+1)e^x)\,dx\le0이고

+40점 · 적분값 12(f(a)−(a+1)ea)2\displaystyle \frac12(f(a)-(a+1)e^a)^2을 구하면

∫0a(f′(x)−(x+2)ex)(f(x)−(x+1)ex) dx=[12(f(x)−(x+1)ex)2]0a=12(f(a)−(a+1)ea)2≤0\displaystyle \int_0^a(f\prime(x)-(x+2)e^x)(f(x)-(x+1)e^x)\,dx=\Biggl[\frac12(f(x)-(x+1)e^x)^2\Biggr]_0^a=\frac12(f(a)-(a+1)e^a)^2\le0

+10점 · 앞의 과정이 맞고 f(x)=(x+1)ex\displaystyle f(x)=(x+1)e^x를 구하면

이므로 f(a)=(a+1)ea\displaystyle f(a)=(a+1)e^a이고 f(x)\displaystyle f(x)의 연속성으로부터 모든 실수 x≥0\displaystyle x\ge0에 대해f(x)=(x+1)ex\displaystyle f(x)=(x+1)e^x이다.

(3-1) dxdt\displaystyle \frac{dx}{dt}와 dydt\displaystyle \frac{dy}{dt}를 쓰지 않고 (dxdt)2+(dydt)2\displaystyle \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2를 바로 기술하면 (+50점)

(3-1) 변수를 바꾸지 않고 t\displaystyle t가 포함된 식으로 표현하면 (f′(x))2+f(x)2(2x−2)2=ex4(x2−1)2+(t+2)2\displaystyle \sqrt{(f\prime(x))^2+f(x)^2(2x-2)^2}=e^x\sqrt{4(x^2-1)^2+(t+2)^2} (+10점) 즉 감점 10점

(3-2), (3-3) f(x)=(x+1)ex\displaystyle f(x)=(x+1)e^x 또는 f′(x)=(x+2)ex\displaystyle f\prime(x)=(x+2)e^x라고 생각하여 풀면 (0점)

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