자연계열 C 2번

$\displaystyle \mathrm P(A)=\mathrm P(A\cap D)+\mathrm P(A\cap D^{\mathrm C})=\mathrm P(D)\mathrm P(A\mid D)+\mathrm P(D^{\mathrm C})\mathrm P(A\mid D^{\mathrm C})=\frac{4\times99}{10^4}=0.0396$이고

$\displaystyle \mathrm P(D\mid A)=\frac{\mathrm P(A\cap D)}{\mathrm P(A)}=\frac{\mathrm P(D)\mathrm P(A\mid D)}{\mathrm P(A)}$이므로$\displaystyle \mathrm P(D\mid A)=\frac{\mathrm P(D)\mathrm P(A\mid D)}{\mathrm P(D)\mathrm P(A\mid D)+\mathrm P(D^{\mathrm C})\mathrm P(A\mid D^{\mathrm C})}=\frac{\frac1{100}\times\frac{99}{100}}{\frac1{100}\times\frac{99}{100}+\frac{99}{100}\times\frac3{100}}=\frac14$이다.

(2-2) 768명의 양성판정을 받은 사람 중에 실제로 질병에 걸린 환자 수를 확률변수 $\displaystyle X$라 하면, $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm B\left(768,\frac14\right)$를 따르므로 $\displaystyle \mathrm E(X)=192$이고 $\displaystyle \mathrm V(X)=144$이다.

$\displaystyle \mathrm P(X\le210)=\mathrm P\left(\frac{X-192}{\sqrt{144}}\le\frac{210-192}{12}\right)=\mathrm P(Z\le1.5)=0.5+0.43=0.93.$

(2-3) 이 지역 주민 전체 수를 $\displaystyle n$이라 할 때, 예상되는 질병 환자 수는 $\displaystyle n\times0.01$이고, 예상되는 양성판정자 수는 $\displaystyle n\times\mathrm P(A)=0.0396n$이다.

(i) 진단키트 검사를 실시하지 않았을 때 드는 총 비용 : $\displaystyle 0.01\times n\times10^6$ (원)

(ii) 진단키트 검사를 실시할 때 드는 총 비용: $\displaystyle C(n)+0.0396n\times10^5$ (원)

$\displaystyle n\le40000$인 경우, $\displaystyle 10^4n>10^4n-\frac{n^2}{10}+3960n$을 풀면 $\displaystyle n>39600$이므로 $\displaystyle n$의 최솟값은 39601이다.