수리논술, 이게 다다.

자연계열 C 2번

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세종대 2021학년도 수시 자연계열 C 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2021su/jayeonc_2

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문제

[문제 2] 어떤 질병에 걸릴 확률은 0.01\displaystyle 0.01이며 전체 주민 중 이 질병에 걸리는 환자 수는 이항분포를 따른다고 하자. 또한 진단키트를 이용하여 실제로 이 질병에 걸린 사람을 검사하였을 때 양성으로 판정할 확률은 0.99\displaystyle 0.99이고, 질병에 걸리지 않은 사람을 검사하였을 때 양성으로 판정할 확률은 0.03\displaystyle 0.03이라고 한다.

(2-1) 어떤 사람이 진단키트 검사로 양성판정을 받을 확률과 양성판정을 받았을 때 이 사람이 질병에 걸려 있을 확률을 각각 구하시오. (70점)

(2-2) 이 진단키트 검사결과 양성판정을 받은 사람 중에서 질병에 걸려 있는 환자 수는 이항분포를 따른다고 하자. 양성판정을 받은 768명 중에서 질병에 걸려 있는 환자 수가 210명 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. (80점)

z\displaystyle zP(0≤Z≤z)\displaystyle \mathrm P(0\le Z\le z)
1.00.34
1.50.43
2.00.48
2.50.49

(2-3) 의료보험에서 이 질병에 걸린 환자 한 명을 치료하기 위해 부담하는 비용은 100만원이지만, 진단키트 검사로 조기 진단하는 경우 양성판정을 받으면 실제로 질병에 걸리는 것과 상관없이 한 명에 대해 부담하는 치료비용이 10만원으로 줄어든다.

다만 집단검진을 통해 전체 n\displaystyle n명을 검사할 때 소요되는 검사비용 C(n)\displaystyle C(n)은 다음과 같다.

C(n)={6000n,n>4000010000n−n210,n≤40000\displaystyle C(n)=\begin{cases}6000n,&n>40000\\10000n-\frac{n^2}{10},&n\le40000\end{cases}

어떤 지역 주민 전체 n\displaystyle n명을 집단검진할 때, 의료보험에서 부담하는 총 비용(전체 주민에 대한 검사비용과 양성판정을 받은 모든 사람에 대한 치료비용을 더한 비용)의 기댓값이 집단검진하지 않을 때 질병에 걸릴 환자 전체에 대한 치료비용의 기댓값보다 작아지는 n\displaystyle n의 최솟값을 구하시오. (80점)

해설강의 준비중

세종대 2021학년도 수시 자연계열 C 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2021su/jayeonc_2

[문제 2]

(2-1) 질병에 걸리는 사건을 D\displaystyle D, 양성으로 판정되는 사건을 A\displaystyle A라 할 때 다음이 성립한다.

P(D)=0.01\displaystyle \mathrm P(D)=0.01, P(DC)=0.99\displaystyle \mathrm P(D^{\mathrm C})=0.99, P(A∣D)=0.99\displaystyle \mathrm P(A\mid D)=0.99, P(A∣DC)=0.03\displaystyle \mathrm P(A\mid D^{\mathrm C})=0.03

+30점 · 풀이과정을 통해 P(A)\displaystyle \mathrm P(A)의 값을 구하면

P(A)=P(A∩D)+P(A∩DC)=P(D)P(A∣D)+P(DC)P(A∣DC)=4×99104=0.0396\displaystyle \mathrm P(A)=\mathrm P(A\cap D)+\mathrm P(A\cap D^{\mathrm C})=\mathrm P(D)\mathrm P(A\mid D)+\mathrm P(D^{\mathrm C})\mathrm P(A\mid D^{\mathrm C})=\frac{4\times99}{10^4}=0.0396이고

+40점 · 풀이과정을 통해 P(D∣A)\displaystyle \mathrm P(D\mid A)의 값 14\displaystyle \frac14을 구하거나 또는 1100×991001100×99100+99100×3100\displaystyle \frac{\frac1{100}\times\frac{99}{100}}{\frac1{100}\times\frac{99}{100}+\frac{99}{100}\times\frac3{100}}에 대응되는 수식이 있으면

P(D∣A)=P(A∩D)P(A)=P(D)P(A∣D)P(A)\displaystyle \mathrm P(D\mid A)=\frac{\mathrm P(A\cap D)}{\mathrm P(A)}=\frac{\mathrm P(D)\mathrm P(A\mid D)}{\mathrm P(A)}이므로P(D∣A)=P(D)P(A∣D)P(D)P(A∣D)+P(DC)P(A∣DC)=1100×991001100×99100+99100×3100=14\displaystyle \mathrm P(D\mid A)=\frac{\mathrm P(D)\mathrm P(A\mid D)}{\mathrm P(D)\mathrm P(A\mid D)+\mathrm P(D^{\mathrm C})\mathrm P(A\mid D^{\mathrm C})}=\frac{\frac1{100}\times\frac{99}{100}}{\frac1{100}\times\frac{99}{100}+\frac{99}{100}\times\frac3{100}}=\frac14이다.

+20점 · 문제 2-1에서 구한 확률 14\displaystyle \frac14로부터 X\displaystyle X의 기댓값 192를 구하면

(2-2) 768명의 양성판정을 받은 사람 중에 실제로 질병에 걸린 환자 수를 확률변수 X\displaystyle X라 하면, X\displaystyle X는 이항분포 B(768,14)\displaystyle \mathrm B\left(768,\frac14\right)를 따르므로 E(X)=192\displaystyle \mathrm E(X)=192

+20점 · X\displaystyle X의 분산(V(X)\displaystyle \mathrm V(X)) 144 또는 표준편차 12를 구하면

이고 V(X)=144\displaystyle \mathrm V(X)=144이다.

이항분포를 정규분포로 근사시키면 정규분포 N(192,144)\displaystyle \mathrm N(192,144)를 이용하여 다음과 같이 P(X≤210)\displaystyle \mathrm P(X\le210)를 구할 수 있다.

+20점 · P(X≤210)=P(Z≤1.5)\displaystyle \mathrm P(X\le210)=\mathrm P(Z\le1.5)을 보이면
+20점 · P(Z≤1.5)=0.93\displaystyle \mathrm P(Z\le1.5)=0.93을 구하면

P(X≤210)=P(X−192144≤210−19212)=P(Z≤1.5)=0.5+0.43=0.93.\displaystyle \mathrm P(X\le210)=\mathrm P\left(\frac{X-192}{\sqrt{144}}\le\frac{210-192}{12}\right)=\mathrm P(Z\le1.5)=0.5+0.43=0.93.

+10점 · 예상되는 판정자수 0.0396n\displaystyle 0.0396n을 계산하면

(2-3) 이 지역 주민 전체 수를 n\displaystyle n이라 할 때, 예상되는 질병 환자 수는 n×0.01\displaystyle n\times0.01이고, 예상되는 양성판정자 수는 n×P(A)=0.0396n\displaystyle n\times\mathrm P(A)=0.0396n이다.

진단키트 검사를 실시여부에 따른 예상 총비용을 구하면

+20점 · 진단키트 검사를 실시하지 않았을 때 드는 총 비용 0.01×n×106\displaystyle 0.01\times n\times10^6을 구하면

(i) 진단키트 검사를 실시하지 않았을 때 드는 총 비용 : 0.01×n×106\displaystyle 0.01\times n\times10^6 (원)

+20점 · 진단키트 검사를 실시할 때 드는 총 비용 C(n)+0.0396n×105\displaystyle C(n)+0.0396n\times10^5을 구하면

(ii) 진단키트 검사를 실시할 때 드는 총 비용: C(n)+0.0396n×105\displaystyle C(n)+0.0396n\times10^5 (원)

이다. (i)의 비용이 (ii)보다 커지는 n\displaystyle n의 최솟값을 구하자.

+20점 · 104n>104n−n210+3960n\displaystyle 10^4n>10^4n-\frac{n^2}{10}+3960n을 풀어서 n=39601\displaystyle n=39601을 구하면
+10점 · n\displaystyle n의 최솟값 39601을 논리적으로 도출하면

n≤40000\displaystyle n\le40000인 경우, 104n>104n−n210+3960n\displaystyle 10^4n>10^4n-\frac{n^2}{10}+3960n을 풀면 n>39600\displaystyle n>39600이므로 n\displaystyle n의 최솟값은 39601이다.

(구한 최솟값이 40000보다 작으므로 나머지 경우는 고려할 필요가 없다.)

104n≥104n−n210+3960nn=39600\displaystyle 10^4n\ge10^4n-\frac{n^2}{10}+3960n\qquad n=39600

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