자연계열 D 1번

(1-1) $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle 0=1-a\int_0^{\ln3}e^{-t}f(t)\,dt$이므로 $\displaystyle a\int_0^{\ln3}e^{-t}f(t)\,dt=1$이다.

따라서 $\displaystyle \int_0^xf(t)\,dt=e^x-e^{3x}$이다.양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle f(x)=e^x-3e^{3x}$이다.

$\displaystyle 1=a\int_0^{\ln3}e^{-t}f(t)\,dt=a\int_0^{\ln3}(1-3e^{2t})\,dt$이므로 $\displaystyle a=\frac1{\ln3-12}$이다.

꼭지점의 좌표는 $\displaystyle (x,e^x)$, $\displaystyle (x,e^x-3e^{3x})$, $\displaystyle (0,e^x)$, $\displaystyle (0,e^x-3e^{3x})$이므로, 직사각형의 넓이는 $\displaystyle A(x)=-3xe^{3x}$이다.

$\displaystyle A\prime(x)=-3e^{3x}(1+3x)$이므로, $\displaystyle A\prime\left(-\frac13\right)=0$이고, $\displaystyle x<-\frac13$에서 $\displaystyle A\prime(x)>0$이고, $\displaystyle x>-\frac13$에서 $\displaystyle A\prime(x)<0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle A(x)$는 $\displaystyle x=-\frac13$에서 최대가 되고,

최댓값은 $\displaystyle A\left(-\frac13\right)=e^{-1}$이다.

(1-3) $\displaystyle f\prime(x)=e^x-9e^{3x}=e^x(1-9e^{2x})$이므로, $\displaystyle f\prime(-\ln3)=0$이고, $\displaystyle x<-\ln3$에서 $\displaystyle f\prime(x)>0$이고, $\displaystyle x>-\ln3$에서 $\displaystyle f\prime(x)<0$이다.따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-\ln3$에서 최대가 되고, 이 때 최댓값은 $\displaystyle f(-\ln3)=\frac29$이므로, 직선 $\displaystyle \ell_2$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac29$이다.

$\displaystyle f(x)=e^x-3e^{3x}$이므로, $\displaystyle \mathrm P=(0,-2)$이다. $\displaystyle f\prime(0)=-8$이므로 접선 $\displaystyle \ell_1$의 방정식은 $\displaystyle y=-8x-2$이다.

$\displaystyle -8x-2=\frac29$로부터 직선 $\displaystyle \ell_1$과 $\displaystyle \ell_2$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -\frac5{18}$이다.

따라서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle \ell_1$, $\displaystyle \ell_2$로 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같다.(아래 (그림 2) 참고) $\displaystyle \int_{-\ln3}^{-\frac5{18}}\left(\frac29-e^x+3e^{3x}\right)\,dx+\int_{-\frac5{18}}^0(-8x-2-e^x+3e^{3x})\,dx=\frac29\ln3-\frac1{81}$