자연계열 C 1번

(1-1) $\displaystyle h\prime(x)=\begin{cases}1+e^x,&x>1\\e,&x<1\end{cases}$이고

$\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 연속이므로 $\displaystyle h(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가함수이다. 따라서 역함수를 가진다.

(1-2)$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=\begin{cases}(x-\frac32)^2,&x\ge\frac32\\-2x+3,&1<x\le\frac32\\x,&0<x\le1\\x^2,&x\le0\end{cases}$

(i) $\displaystyle x=\frac32$에서 $\displaystyle (g\circ f)(x)$ ($\displaystyle x>\frac32$)의 접선의 기울기는 $\displaystyle 0$이고 $\displaystyle (g\circ f)(x)$ ($\displaystyle x<\frac32$)의 접선의 기울기는 $\displaystyle -2$이므로 $\displaystyle x=\frac32$에서 미분 가능하지 않다.

(ii) $\displaystyle x=1$에서 $\displaystyle (g\circ f)(x)$ ($\displaystyle x>1$)의 접선의 기울기는 $\displaystyle -2$이고 $\displaystyle (g\circ f)(x)$ ($\displaystyle x<1$)의 접선의 기울기는 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle x=\frac32$에서 미분 가능하지 않다.Correction. (1-2) 예시답안에서 (ii)의 결론은 $\displaystyle x=1$, (iii)의 결론은 $\displaystyle x=0$에서 미분 가능하지 않다는 뜻이다. 두 문장 끝에 반복된 $\displaystyle x=\frac32$는 오기이다. 각 문장에서 구한 좌우 기울기와 최종 답 $\displaystyle A=\{0,1,\frac32\}$는 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.

(iii) $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle (g\circ f)(x)$ ($\displaystyle x>0$)의 접선의 기울기는 $\displaystyle 1$이고 $\displaystyle (g\circ f)(x)$ ($\displaystyle x<0$)의 접선의 기울기는 $\displaystyle 0$이므로 $\displaystyle x=\frac32$에서 미분 가능하지 않다.

(1-3)$\displaystyle \begin{aligned}&\lim_{t\to0+}\frac{h^{-1}(f(3/2+t))-h^{-1}(f(3/2))}t\\&=\lim_{t\to0+}\frac{h^{-1}(1+t)-h^{-1}(1)}t=\lim_{x\to1+}\frac{x-1}{h(x)-1}=\lim_{x\to1+}\frac{x-1}{x+e^x-e-1}=\lim_{x\to1+}\frac1{1+\frac{e^x-e}{x-1}}\\&=\frac1{1+e}\end{aligned}$(두 번째 등식에서 $\displaystyle h^{-1}(t+1)=x$ 이용)

$\displaystyle \lim_{t\to0-}\frac{h^{-1}(f(3/2+t))-h^{-1}(f(3/2))}t=\lim_{t\to0-}\frac{h^{-1}(2t+1)-h^{-1}(1)}t=\lim_{t\to0-}\frac{\frac1e(2t+1)+1-\frac1e-1}t=\frac2e$