자연계열 A 3번

(3-1) $\displaystyle g(t)=(e-1)t-\ln t$라 할 때, $\displaystyle g\prime(t)=e-1-\frac1t$이므로

$\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=\frac1{e-1}$일 때 최솟값 $\displaystyle 1+\ln(e-1)$ ($\displaystyle >1$)을 갖는다.

따라서 $\displaystyle f(x(t))>1$이고 $\displaystyle x\le1$에서 $\displaystyle f(x)\le1$이므로 $\displaystyle x(t)>1$이다.

(3-2) (3-1)에 의해 주어진 조건식은 아래 식 (1)과 같다.$\displaystyle (e-1)t-\ln t=x(t)-\ln x(t)\quad\cdots(1)$

식 (1)을 미분하면 $\displaystyle (e-1)-\frac1t=x\prime(t)-\frac{x\prime(t)}{x(t)}$이고, $\displaystyle t=1$을 대입하면$\displaystyle x\prime(1)=\frac{e^2-2e}{e-1}$이다.

식 (1)을 두 번 미분하면 $\displaystyle \frac1{t^2}=x\prime\prime(t)-\frac{x\prime\prime(t)x(t)-x\prime(t)^2}{x(t)^2}$이고,

$\displaystyle t=1$을 대입하면 $\displaystyle x\prime\prime(1)=\frac{2e^2-3e}{(e-1)^3}$이다.

(3-3) (단계 1) (3-2)에서 구한 식 $\displaystyle e-1-\frac1t=x\prime(t)-\frac{x\prime(t)}{x(t)}=x\prime(t)\left(1-\frac1{x(t)}\right)$에서 $\displaystyle t>\frac1{e-1}$이면 $\displaystyle x\prime(t)>0$이다.

$\displaystyle a>\frac1{e-1}$인 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle x\prime\prime(a)=0$이면, 식 (2)에서 $\displaystyle \frac1{a^2}=\left(\frac{x\prime(a)}{x(a)}\right)^2$이고, $\displaystyle x(a),x\prime(a)>0$이므로 $\displaystyle \frac1a=\frac{x\prime(a)}{x(a)}$이다.

또한 식 (1)에서 $\displaystyle x\prime(a)=e-1$이고, 따라서 $\displaystyle x(a)=(e-1)a$이다.

이때, $\displaystyle (e-1)t-\ln t=x(t)-\ln x(t)$로부터,$\displaystyle (e-1)a-\ln a=x(a)-\ln x(a)=(e-1)a-\ln(e-1)a$이므로 $\displaystyle a=(e-1)a$가 성립되어 모순이다. 따라서 $\displaystyle t>\frac1{e-1}$인 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle x\prime\prime(t)\ne0$이 성립한다.

(단계 3) (3-2)의 결과로부터 $\displaystyle x\prime\prime(1)=\frac{2e^2-3e}{(e-1)^3}>0$이다.

(단계 4) $\displaystyle a>\frac1{e-1}$인 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle x\prime\prime(a)<0$인 점이 존재하면 (단계 3)과 사잇값 정리에 의하여 $\displaystyle x\prime\prime(b)=0$인 $\displaystyle b$가 존재하지만 (단계 2)에 모순이다. 따라서 $\displaystyle t>\frac1{e-1}$인 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle x\prime\prime(t)>0$이 성립한다.