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자연계열 1-1번

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서울과학기술대 2020학년도 수시 오전 자연계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2020su_am/jayeon_1_1

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[문제 1] 다음 물음에 답하시오.

[1.1] 일반항이 an=(n2+7n+12)sin⁡(nπ−π2)\displaystyle a_n=(n^2+7n+12)^{\sin\left(n\pi-\frac\pi2\right)}인 수열 an\displaystyle {a_n}에 대하여 ∑k=1nlog⁡ak=−2\displaystyle \sum_{k=1}^n\log a_k=-2를 만족하는 n\displaystyle n의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2020학년도 수시 오전 자연계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2020su_am/jayeon_1_1

+4점 · sin⁡(nπ−π2)=(−1)n+1\displaystyle \sin\left(n\pi-\frac\pi2\right)=(-1)^{n+1}이므로 ∑k=1nlog⁡ak=∑k=1n(−1)k+1log⁡(k+3)(k+4)=log⁡4+(−1)n+1log⁡(n+4)\displaystyle \sum_{k=1}^n\log a_k=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\log(k+3)(k+4)=\log4+(-1)^{n+1}\log(n+4) (log⁡4+(−1)n+1log⁡(n+4)\displaystyle \log4+(-1)^{n+1}\log(n+4) 또는 log⁡4+sin⁡(nπ−π2)log⁡(n+4)\displaystyle \log4+\sin\left(n\pi-\frac\pi2\right)\log(n+4)을 찾으면)

[1.1] sin⁡(nπ−π2)=(−1)n+1\displaystyle \sin\left(n\pi-\frac\pi2\right)=(-1)^{n+1}이므로∑k=1nlog⁡ak=∑k=1n(−1)k+1log⁡(k+3)(k+4)=log⁡4+(−1)n+1log⁡(n+4)\displaystyle \sum_{k=1}^n\log a_k=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\log(k+3)(k+4)=\log4+(-1)^{n+1}\log(n+4)이다.

+3점

주어진 합이 음수인 경우는 n\displaystyle n이 짝수일 때이다. 짝수 n\displaystyle n에 대하여log⁡4n+4=−2\displaystyle \log\frac4{n+4}=-2

+3점 · 이므로 n=396\displaystyle n=396이다.

이므로 n=396\displaystyle n=396이다.

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