자연계열 3번

[3.1] $\displaystyle t=24$일 때 운동 방향이 바뀌므로 10분부터 30분까지 자동차 A가 이동한 거리는 다음과 같다.$\displaystyle |f(24)-f(10)|+|f(30)-f(24)|=|16-2|+|-2-16|=32$

점 $\displaystyle (m,n)$은 곡선 위에 있으므로 $\displaystyle m=\frac23n^{\frac32}+16>10$이다. 따라서 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 10$이하의 자연수이고 $\displaystyle (m,n)=(34,9)$이다.

[3.2] 자동차 B의 이동거리는 곡선도로의 길이와 같으므로 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \int_0^9\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\,dy=\int_0^9\sqrt{1+y}\,dy=\frac23(10\sqrt{10}-1)$

[3.3] 역함수 미분법을 이용하여 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{\sqrt y}$이므로 점 P의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle 4$이다. 따라서 점 P의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{64}3,4\right)$이고 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac12x-\frac{20}3$이다.

$\displaystyle k$구역의 넓이는$\displaystyle \int_{k-1}^k\left(2y+\frac{40}3\right)\,dy=2k+12+\frac13$

이므로 $\displaystyle k$구역에 놓을 수 있는 보도블록의 개수는 $\displaystyle 2k+12$개이다. 따라서 모든 구역에 놓을 수 있는 보도블록의 개수는 $\displaystyle \sum_{k=1}^9(2k+12)=198$개이다.

[3.4] 점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{40}3,0\right)$이므로 선분 PQ의 길이는 $\displaystyle 4\sqrt5$이다. 트럭 C의 이동거리는$\displaystyle \int_4^9\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\,dy+4\sqrt5=\int_4^9\sqrt{1+y}\,dy+4\sqrt5=\frac{20}3\sqrt{10}+\frac23\sqrt5$이다.

모든 구역에 보도블록을 다 놓을 때까지 걸린 시간은$\displaystyle \sum_{k=1}^9(2k+12)(0.1k)=111$이므로 트럭 C가 이동하는데 걸린 시간도 111분이다.