자연계열 2번

[2.1] 점 $\displaystyle (x_i,y_i)$를 $\displaystyle \mathrm{A}_i$라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{A}_i$로부터 직선 $\displaystyle y=tx$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{B}_i$라 하자. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}_i}$는 $\displaystyle \vec{u}$와 평행하므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_i}$와 $\displaystyle \vec{u}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}_i}$의 크기는$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OB}_i}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}_i}\right|\cos\theta=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}_i}\right||\vec{u}|\cos\theta=\vec{v}_i\cdot\vec{u}$이다(참고로 $\displaystyle t>0$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{A}_i$는 제1사분면에 있기 때문에 $\displaystyle \theta<\frac{\pi}{2}$이다). 피타고라스의 정리에 의해$\displaystyle d_i^2=\left|\overrightarrow{\mathrm{A}_i\mathrm{B}_i}\right|^2=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}_i}\right|^2-\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}_i}\right|^2=\vec{v}_i\cdot\vec{v}_i-(\vec{v}_i\cdot\vec{u})^2$이므로$\displaystyle E(t)=\sum_{i=1}^n\{\vec{v}_i\cdot\vec{v}_i-(\vec{v}_i\cdot\vec{u})^2\}$이다.

[2.2] 주어진 세 점에 대하여 제곱오차는$\displaystyle L(t)=(1-t)^2+(3-2t)^2+(2-3t)^2=14-26t+14t^2$이므로$\displaystyle \frac{dL}{dt}=-26+28t$이다. 따라서 $\displaystyle t=\frac{13}{14}$에서 $\displaystyle L(t)$는 최소이고, 최소제곱오차직선은$\displaystyle y=\frac{13}{14}x$이다. 주어진 세 점에 대하여 거리제곱오차는$\displaystyle E(t)=28-\frac{1}{1+t^2}\{(1+t)^2+(2+3t)^2+(3+2t)^2\}=28-\frac{14+26t+14t^2}{1+t^2}$이므로$\displaystyle \frac{dE}{dt}=\frac{26(t^2-1)}{(1+t^2)^2}$이다. 따라서 $\displaystyle t=1$에서 $\displaystyle E(t)$는 최소이고, 최소거리제곱오차직선은$\displaystyle y=x$이다.

[2.3] 주어진 $\displaystyle n$개의 점에 대하여 제곱오차는$\displaystyle L(t)=\sum_{i=1}^n(y_i-tx_i)^2$이므로$\displaystyle \frac{dL}{dt}=\sum_{i=1}^n\frac{d}{dt}(y_i-tx_i)^2=-2\sum_{i=1}^n(y_i-tx_i)x_i=-2n\{m_{XY}-(\sigma_X^2+m_X^2)t\}=-2n\left(\frac{39}{4}-\frac{15}{2}t\right)$이다. 그러므로 $\displaystyle t=\frac{13}{10}$에서 $\displaystyle L(t)$는 최소이고, 최소제곱오차직선은$\displaystyle y=\frac{13}{10}x$이다. 한편 주어진 $\displaystyle n$개의 점에 대하여 거리제곱오차는$\displaystyle E(t)=\sum_{i=1}^n(x_i^2+y_i^2)-\frac{1}{1+t^2}\sum_{i=1}^n(x_i+ty_i)^2$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\frac{dE}{dt}&=\frac{2n}{(1+t^2)^2}\left\{\frac{t^2}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i+\frac{t}{n}\sum_{i=1}^n(x_i^2-y_i^2)-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i\right\}\\&=\frac{2n}{(1+t^2)^2}\left[m_{XY}t^2+\{(\sigma_X^2+m_X^2)-(\sigma_Y^2+m_Y^2)\}t-m_{XY}\right]\\&=\frac{n}{(1+t^2)^2}\left[\frac{39}{2}t^2-12t-\frac{39}{2}\right]\end{aligned}$이다. 여기서 $\displaystyle \frac{n}{(1+t^2)^2}>0$이므로 $\displaystyle E(t)$는$\displaystyle t=\frac{4+\sqrt{185}}{13}$에서 최솟값을 가진다. 따라서 최소거리제곱오차직선은$\displaystyle y=\frac{4+\sqrt{185}}{13}x$이다.