자연계열 1-3번

[1.3] 정적분의 성질에 의하여$\displaystyle \int_0^{2a}f(x)\,dx=\int_0^af(x)\,dx+\int_a^{2a}f(x)\,dx$이고, 우변의 두 번째 정적분에서 $\displaystyle x-a=y$로 치환하면 $\displaystyle \int_a^{2a}f(x)\,dx=\int_0^af(y+a)\,dy$이므로$\displaystyle \int_0^{2a}f(x)\,dx=\int_0^a\{f(x)+f(x+a)\}\,dx$이다. 따라서 $\displaystyle \boxed{\mathrm A}=f(x+a)$이다. ($\displaystyle \boxed{\mathrm A}=f(2a-x)$도 가능).

위의 등식에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{2\pi}\frac{\cos^2x}{1+2020^{\sin x}}\,dx&=\int_0^\pi\left\{\frac{\cos^2x}{1+2020^{\sin x}}+\frac{\cos^2(x+\pi)}{1+2020^{\sin(x+\pi)}}\right\}\,dx\\&=\int_0^\pi\left(\frac{\cos^2x}{1+2020^{\sin x}}+\frac{\cos^2x}{1+2020^{-\sin x}}\right)\,dx\end{aligned}$이다.

그런데 $\displaystyle \frac1{1+2020^{\sin x}}+\frac1{1+2020^{-\sin x}}=1$이므로 $\displaystyle \int_0^\pi\cos^2x\,dx=\frac\pi2$이다.