자연계열 2번

[2.1] 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 서로 다른 $\displaystyle m$개의 실근을 $\displaystyle s_1,\ldots,s_m$ ($\displaystyle s_1<\cdots<s_m$)이라 하자. 함수 $\displaystyle f(x)$가 미분가능하고 $\displaystyle f(s_1)=f(s_2)=0$이므로 롤의 정리에 의하여 $\displaystyle s_1$과 $\displaystyle s_2$ 사이에 $\displaystyle f^{\prime}(t_1)=0$인 실수 $\displaystyle t_1$이 적어도 하나 존재한다. 마찬가지로 $\displaystyle j=2,\ldots,m-1$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(t_j)=0$인 $\displaystyle t_j$가 $\displaystyle s_j$와 $\displaystyle s_{j+1}$ 사이에 적어도 하나 존재한다. 즉, 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 근 $\displaystyle t_1,\ldots,t_{m-1}$이$\displaystyle s_1<t_1<s_2<\cdots<t_{m-1}<s_m$을 만족하므로 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 서로 다른 실근은 적어도 $\displaystyle m-1$개이다.위와 같은 과정을 반복하면, 함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 미분가능하고 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 서로 다른 실근이 적어도 $\displaystyle m-1$개이므로 방정식 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=0$의 서로 다른 실근은 적어도 $\displaystyle m-2$개이다.

[2.2] $\displaystyle 0$은 $\displaystyle f(x)=0$의 근이 될 수 없다. 그 이유는 다음과 같다. 함수 $\displaystyle g(x)$를 두 번 미분하면$\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=e^x\{f(x)+2f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)\}$인데, $\displaystyle g^{\prime\prime}(0)=0$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=0$이므로 $\displaystyle 0=f(0)+2f^{\prime}(0)$이다. 만약 $\displaystyle f(0)=0$이면, $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이다. 그러면 $\displaystyle x=0$은 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 중근이 되는데, 이는 삼차방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 서로 다른 실근이 세 개라는 조건에 모순이 된다.

[2.3] 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 서로 다른 실근이 세 개이므로 $\displaystyle g(x)=e^{\frac x3}f(x)=0$의 서로 다른 실근도 세 개이고 따라서 문항 [2.1]에 의하여 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=0$의 실근은 적어도 한 개이다. 그런데 함수 $\displaystyle g(x)$를 두 번 미분하면$\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=\frac19e^{\frac x3}\{f(x)+6f^{\prime}(x)+9f^{\prime\prime}(x)\}$이므로 제시문 (나)에 의해 방정식 $\displaystyle f(x)+6f^{\prime}(x)+9f^{\prime\prime}(x)=0$은 실근을 갖는다.