자연계열 1-3번

[1.3] 점 P가 점 A에서 포물선 $\displaystyle y^2=2x+1$의 준선 $\displaystyle x=-1$에 내린 수선과 포물선의 교점일 때, 삼각형 OAP 둘레의 길이는 최소가 된다. 이때 점 P는 $\displaystyle (1,\sqrt3)$이다.

주어진 포물선에서 $\displaystyle 2y\frac{dy}{dx}=2$이므로 점 P에서의 접선 $\displaystyle l$의 방정식은$\displaystyle x-\sqrt3y+2=0$이다.

원 C의 중심과 접선 $\displaystyle l$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{t+2}2$이고, 원 C와 접선 $\displaystyle l$ 사이의 거리의 최솟값이 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle \frac{t+2}2=r+1$이다. 또한 원 C는 주어진 포물선에 접하므로 $\displaystyle (x-t)^2+(2x+1)=r^2$에서 판별식에 의해 $\displaystyle r^2=2t$이다. 따라서 $\displaystyle t=8$이다.