자연계열 3번

[3.1] 제시문 (나)의 (4)에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx&=\frac12\left\{\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx-\int_0^{\frac\pi2}f(x)\cos x\,dx\right\}\\&=\frac12\int_0^{\frac\pi2}f(x)(\sin x-\cos x)\,dx\end{aligned}$이다. 그런데 $\displaystyle \cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac1{\sqrt2}$이므로$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx=\frac1{\sqrt2}\int_0^{\frac\pi2}f(x)\left(\sin x\cos\frac\pi4-\cos x\sin\frac\pi4\right)\,dx$이고, 삼각함수의 덧셈정리에 의하여$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx=\frac1{\sqrt2}\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx$이다.

[3.2] 정적분의 성질에 의하여$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx=\int_0^{\frac\pi4}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx+\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx$이다. 우변의 첫 번째 정적분에서는 $\displaystyle \frac\pi4-x=y$로 치환하고, 두 번째 정적분에서는 $\displaystyle x-\frac\pi4=y$로 치환하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx&=\int_{\frac\pi4}^0f\left(\frac\pi4-y\right)\sin(-y)(-dy)+\int_0^{\frac\pi4}f\left(\frac\pi4+y\right)\sin y\,dy\\&=-\int_0^{\frac\pi4}f\left(\frac\pi4-y\right)\sin y\,dy+\int_0^{\frac\pi4}f\left(\frac\pi4+y\right)\sin y\,dy\end{aligned}$이므로$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx=\int_0^{\frac\pi4}\left\{f\left(\frac\pi4+x\right)-f\left(\frac\pi4-x\right)\right\}\sin x\,dx$이다. 따라서$\displaystyle \boxed{\mathrm A}=\frac\pi4+x,\quad\boxed{\mathrm B}=\frac\pi4-x$이다.

[3.3] 문항 [3.1]과 [3.2]의 결과에 의하여$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx=\frac1{\sqrt2}\int_0^{\frac\pi4}\left\{f\left(\frac\pi4+x\right)-f\left(\frac\pi4-x\right)\right\}\sin x\,dx$이다. 평균값 정리에 의하여$\displaystyle f\left(\frac\pi4+x\right)-f\left(\frac\pi4-x\right)=2xf^{\prime}(c)$를 만족하는 $\displaystyle c$가 구간 $\displaystyle \left(\frac\pi4-x,\frac\pi4+x\right)\subset\left(0,\frac\pi2\right)$에 적어도 하나 존재하고, 제시문 (나)의 (3)에 의하여 $\displaystyle m\leq f^{\prime}(c)\leq M$이다. 따라서 제시문 (가)에 의하여$\displaystyle \sqrt2m\int_0^{\frac\pi4}x\sin x\,dx\leq\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx\leq\sqrt2M\int_0^{\frac\pi4}x\sin x\,dx$이다. 부분적분하면$\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}x\sin x\,dx=\Biggl[-x\cos x+\sin x\Biggr]_0^{\frac\pi4}=\frac1{\sqrt2}\left(1-\frac\pi4\right)$이므로$\displaystyle \left(1-\frac\pi4\right)m\leq\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx\leq\left(1-\frac\pi4\right)M$이 성립한다.