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자연계열 3번

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서울과학기술대 2020학년도 수시 오전 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2020su_am/jayeon_3

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문제

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 정적분과 부등식두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때f(x)≥g(x)이면 ∫abf(x) dx≥∫abg(x) dx\displaystyle f(x)\geq g(x)\text{이면 }\int_a^bf(x)\,dx\geq\int_a^bg(x)\,dx

(나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 다음 조건을 만족한다.(1) 닫힌 구간 [0,π2]\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]에서 연속이다.(2) 열린 구간 (0,π2)\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)에서 미분가능하다.(3) 닫힌 구간 [0,π2]\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]에서 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 최댓값은 M\displaystyle M이고, 최솟값은 m\displaystyle m이다.(4) ∫0π2f(x)sin⁡x dx=−∫0π2f(x)cos⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx=-\int_0^{\frac\pi2}f(x)\cos x\,dx

[3.1] 다음 등식이 성립함을 보이시오.∫0π2f(x)sin⁡x dx=12∫0π2f(x)sin⁡(x−π4) dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx=\frac1{\sqrt2}\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx

[3.2] 다음 등식에서 A\displaystyle \boxed{\mathrm A}와 B\displaystyle \boxed{\mathrm B}에 들어갈 식을 각각 구하시오.∫0π2f(x)sin⁡(x−π4) dx=∫0π4{f(A)−f(B)}sin⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx=\int_0^{\frac\pi4}\{f(\boxed{\mathrm A})-f(\boxed{\mathrm B})\}\sin x\,dx

[3.3] 다음 부등식이 성립함을 보이시오.(1−π4)m≤∫0π2f(x)sin⁡x dx≤(1−π4)M\displaystyle \left(1-\frac\pi4\right)m\leq\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx\leq\left(1-\frac\pi4\right)M

해설강의 준비중

서울과학기술대 2020학년도 수시 오전 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2020su_am/jayeon_3

+4점 · sin⁡(x−π4)=sin⁡xcos⁡π4−cos⁡xsin⁡π4\displaystyle \sin\left(x-\frac\pi4\right)=\sin x\cos\frac\pi4-\cos x\sin\frac\pi4 또는 sin⁡(x−π4)=12(sin⁡x−cos⁡x)\displaystyle \sin\left(x-\frac\pi4\right)=\frac1{\sqrt2}(\sin x-\cos x)을 알고 있으면
+4점 · ∫0π2f(x)sin⁡x dx=12∫0π2f(x)sin⁡(x−π4) dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx=\frac1{\sqrt2}\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx임을 얻으면

[3.1] 제시문 (나)의 (4)에 의하여∫0π2f(x)sin⁡x dx=12{∫0π2f(x)sin⁡x dx−∫0π2f(x)cos⁡x dx}=12∫0π2f(x)(sin⁡x−cos⁡x) dx\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx&=\frac12\left\{\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx-\int_0^{\frac\pi2}f(x)\cos x\,dx\right\}\\&=\frac12\int_0^{\frac\pi2}f(x)(\sin x-\cos x)\,dx\end{aligned}이다. 그런데 cos⁡π4=sin⁡π4=12\displaystyle \cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4=\frac1{\sqrt2}이므로∫0π2f(x)sin⁡x dx=12∫0π2f(x)(sin⁡xcos⁡π4−cos⁡xsin⁡π4) dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx=\frac1{\sqrt2}\int_0^{\frac\pi2}f(x)\left(\sin x\cos\frac\pi4-\cos x\sin\frac\pi4\right)\,dx이고, 삼각함수의 덧셈정리에 의하여∫0π2f(x)sin⁡x dx=12∫0π2f(x)sin⁡(x−π4) dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx=\frac1{\sqrt2}\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx이다.

+3점 · ∫0π2f(x)sin⁡(x−π4) dx=∫0π4f(x)sin⁡(x−π4) dx+∫π4π2f(x)sin⁡(x−π4) dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx=\int_0^{\frac\pi4}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx+\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx 또는 ∫0π2f(x)sin⁡(x−π4) dx=∫−π4π4f(x+π4)sin⁡x dx=∫−π40f(x+π4)sin⁡x dx+∫0π4f(x+π4)sin⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx=\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}f\left(x+\frac\pi4\right)\sin x\,dx=\int_{-\frac\pi4}^0f\left(x+\frac\pi4\right)\sin x\,dx+\int_0^{\frac\pi4}f\left(x+\frac\pi4\right)\sin x\,dx으로 변형할 수 있으면

[3.2] 정적분의 성질에 의하여∫0π2f(x)sin⁡(x−π4) dx=∫0π4f(x)sin⁡(x−π4) dx+∫π4π2f(x)sin⁡(x−π4) dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx=\int_0^{\frac\pi4}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx+\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx이다. 우변의 첫 번째 정적분에서는 π4−x=y\displaystyle \frac\pi4-x=y로 치환하고, 두 번째 정적분에서는 x−π4=y\displaystyle x-\frac\pi4=y로 치환하면∫0π2f(x)sin⁡(x−π4) dx=∫π40f(π4−y)sin⁡(−y)(−dy)+∫0π4f(π4+y)sin⁡y dy=−∫0π4f(π4−y)sin⁡y dy+∫0π4f(π4+y)sin⁡y dy\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx&=\int_{\frac\pi4}^0f\left(\frac\pi4-y\right)\sin(-y)(-dy)+\int_0^{\frac\pi4}f\left(\frac\pi4+y\right)\sin y\,dy\\&=-\int_0^{\frac\pi4}f\left(\frac\pi4-y\right)\sin y\,dy+\int_0^{\frac\pi4}f\left(\frac\pi4+y\right)\sin y\,dy\end{aligned}이므로∫0π2f(x)sin⁡(x−π4) dx=∫0π4{f(π4+x)−f(π4−x)}sin⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin\left(x-\frac\pi4\right)\,dx=\int_0^{\frac\pi4}\left\{f\left(\frac\pi4+x\right)-f\left(\frac\pi4-x\right)\right\}\sin x\,dx이다.

+5점 · A=π4+x\displaystyle \boxed{\mathrm A}=\frac\pi4+x를 구하면
+5점 · B=π4−x\displaystyle \boxed{\mathrm B}=\frac\pi4-x를 구하면

따라서A=π4+x,B=π4−x\displaystyle \boxed{\mathrm A}=\frac\pi4+x,\quad\boxed{\mathrm B}=\frac\pi4-x이다.

+4점 · ∫0π2f(x)sin⁡x dx=12∫0π4{f(π4+x)−f(π4−x)}sin⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx=\frac1{\sqrt2}\int_0^{\frac\pi4}\left\{f\left(\frac\pi4+x\right)-f\left(\frac\pi4-x\right)\right\}\sin x\,dx임을 알고 있으면

[3.3] 문항 [3.1]과 [3.2]의 결과에 의하여∫0π2f(x)sin⁡x dx=12∫0π4{f(π4+x)−f(π4−x)}sin⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx=\frac1{\sqrt2}\int_0^{\frac\pi4}\left\{f\left(\frac\pi4+x\right)-f\left(\frac\pi4-x\right)\right\}\sin x\,dx이다.

+4점 · 평균값 정리에 의하여 f(π4+x)−f(π4−x)=2xf′(c)\displaystyle f\left(\frac\pi4+x\right)-f\left(\frac\pi4-x\right)=2xf^{\prime}(c)

평균값 정리에 의하여f(π4+x)−f(π4−x)=2xf′(c)\displaystyle f\left(\frac\pi4+x\right)-f\left(\frac\pi4-x\right)=2xf^{\prime}(c)를 만족하는 c\displaystyle c가 구간 (π4−x,π4+x)⊂(0,π2)\displaystyle \left(\frac\pi4-x,\frac\pi4+x\right)\subset\left(0,\frac\pi2\right)에 적어도 하나 존재하고, 제시문 (나)의 (3)에 의하여 m≤f′(c)≤M\displaystyle m\leq f^{\prime}(c)\leq M이다.

+4점

따라서 제시문 (가)에 의하여2m∫0π4xsin⁡x dx≤∫0π2f(x)sin⁡x dx≤2M∫0π4xsin⁡x dx\displaystyle \sqrt2m\int_0^{\frac\pi4}x\sin x\,dx\leq\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx\leq\sqrt2M\int_0^{\frac\pi4}x\sin x\,dx이다. 부분적분하면∫0π4xsin⁡x dx=[−xcos⁡x+sin⁡x]0π4=12(1−π4)\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}x\sin x\,dx=\Biggl[-x\cos x+\sin x\Biggr]_0^{\frac\pi4}=\frac1{\sqrt2}\left(1-\frac\pi4\right)이므로(1−π4)m≤∫0π2f(x)sin⁡x dx≤(1−π4)M\displaystyle \left(1-\frac\pi4\right)m\leq\int_0^{\frac\pi2}f(x)\sin x\,dx\leq\left(1-\frac\pi4\right)M이 성립한다.

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