자연계열 1-1번

[1.1] $\displaystyle y^{\prime}=\frac1{2\sqrt x}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n(a_n,b_n)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y=\frac1{2\sqrt{a_n}}(x-a_n)+b_n=\frac1{2\sqrt{a_n}}x+\frac{\sqrt{a_n}}2$이다.접선의 $\displaystyle y$절편 $\displaystyle b_{n+1}=\frac{\sqrt{a_n}}2$이고 $\displaystyle b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}}$이므로,$\displaystyle \sqrt{a_{n+1}}=\frac{\sqrt{a_n}}2$ 즉, $\displaystyle a_{n+1}=\frac14a_n$이다.따라서 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle 4$이고 공비가 $\displaystyle \frac14$인 등비수열이므로,

급수의 합은$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n=\frac4{1-\frac14}=\frac{16}3$이다.