자연계열 1-1번

[문제 1] 다음 물음에 답하시오.

[1.1] 곡선 $\displaystyle y=\sqrt x$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1(a_1,b_1)$에서의 접선이 $\displaystyle y$축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}_2(0,b_2)$라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_2$를 지나며 $\displaystyle x$축에 평행한 직선과 곡선의 교점을 $\displaystyle \mathrm{P}_2(a_2,b_2)$라 하자. 곡선 $\displaystyle y=\sqrt x$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2(a_2,b_2)$에서의 접선이 $\displaystyle y$축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}_3(0,b_3)$이라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_3$을 지나며 $\displaystyle x$축에 평행한 직선과 곡선의 교점을 $\displaystyle \mathrm{P}_3(a_3,b_3)$이라 하자. 이와 같은 과정을 반복하여 얻은 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n(a_n,b_n)$에 대하여 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$의 합을 구하시오. (단, $\displaystyle a_1=4$)