자연계열 2번

[2.1] $\displaystyle v(t)$를 적분하면$\displaystyle x=f(t)=\begin{cases}-t^2+c_1&(0\leq t<2)\\t^2-8t+c_2&(2\leq t<6)\\-t^2+16t+c_3&(6\leq t\leq8)\end{cases}$ (단, $\displaystyle c_1$, $\displaystyle c_2$, $\displaystyle c_3$는 상수)이다. $\displaystyle f(0)=7$이므로 $\displaystyle f(0)=c_1=7$이다.함수 $\displaystyle f(t)$는 연속이므로$\displaystyle \lim_{t\to2-}f(t)=f(2)$에서 $\displaystyle \lim_{t\to2-}(-t^2+7)=-12+c_2\quad\therefore c_2=15$이고,$\displaystyle \lim_{t\to6-}f(t)=f(6)$에서 $\displaystyle \lim_{t\to6-}(t^2-8t+15)=60+c_3\quad\therefore c_3=-57$따라서 $\displaystyle x=f(t)=\begin{cases}7-t^2&(0\leq t<2)\\t^2-8t+15&(2\leq t<6)\\-t^2+16t-57&(6\leq t\leq8)\end{cases}$

[2.2] 점 P의 위치가 $\displaystyle x=2\sqrt2$일 때 빔과 원판의 위치는 다음 그림과 같다.

위 그림에서 $\displaystyle \angle\mathrm{AOP}=\frac\pi4$, $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}=\frac\pi2$이므로 빔이 원판에 비친 부분의 넓이는$\displaystyle 2\left(\frac12\times2^2\times\frac\pi2-\frac12\times2^2\right)=2\pi-4$이다.

[2.3] $\displaystyle t=4-\sqrt3$일 때 점 P의 위치는$\displaystyle f(4-\sqrt3)=(4-\sqrt3)^2-8(4-\sqrt3)+15=2$

이므로 빔과 원판의 위치는 다음 그림과 같다.

위 그림에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{AP}}=2$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{AOP}=\frac\pi3$이다.따라서 빔이 원판에 비친 부분의 넓이는$\displaystyle 4\times\frac12\times2^2\times\frac\pi3-2\times\frac12\times2^2\times\frac{\sqrt3}2=\frac{8\pi}3-2\sqrt3$이다.

[2.4] $\displaystyle -4\leq f(t)\leq4$일 때, 원판이 빔에 닿거나 비추어진다. $\displaystyle f(t)=4$의 해를 $\displaystyle t_1,t_2$ ($\displaystyle t_1<t_2$)라 하면$\displaystyle 7-t_1^2=4,\quad-t_2^2+16t_2-57=4$이므로 $\displaystyle t_1=\sqrt3$, $\displaystyle t_2=8-\sqrt3$이다.

따라서 센서에서 소리가 나는 시각 $\displaystyle t$의 범위는$\displaystyle \sqrt3\leq t\leq8-\sqrt3$이다.