자연계열 1-2번

[1.2] 함수 $\displaystyle f(x)$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{\cos x(\cos x-1)-(\sin x+3)(-\sin x)}{(\cos x-1)^2}=\frac{1-\cos x+3\sin x}{(\cos x-1)^2}$이므로$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle \cos x-1=3\sin x$의 양변을 제곱하여 정리하면$\displaystyle 10\cos^2x-2\cos x-8=2(5\cos x+4)(\cos x-1)=0$이다.$\displaystyle \cos x\neq1$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=0$에서 $\displaystyle \cos\alpha=-\frac45$, $\displaystyle \sin\alpha=-\frac35$이다.

$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac7{25},\quad\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{24}{25}$이므로$\displaystyle \sin\left(2\alpha+\frac\pi4\right)=\sin2\alpha\cos\frac\pi4+\cos2\alpha\sin\frac\pi4=\frac{31\sqrt2}{50}$이다.