자연계열 3번

[3.1] $\displaystyle g(x)$는 함수 $\displaystyle f(x)=\frac19(x+1)^2+2$의 역함수이므로$\displaystyle g(x)=3\sqrt{x-2}-1$이다.

직선 BC의 기울기가 $\displaystyle -1$이므로, 점 C는 점 B를 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle c$(상수)만큼, $\displaystyle y$축의 방향으로 $\displaystyle -c$만큼 평행 이동한 점이다. 점 B는 $\displaystyle y=g(x)$ 위에 있고, 점 C는 $\displaystyle y=h(x)$ 위에 있는데, 함수 $\displaystyle h(x)=3\sqrt{x-3}-2$의 그래프는 함수 $\displaystyle g(x)=3\sqrt{x-2}-1$의 그래프를 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle 1$만큼, $\displaystyle y$축의 방향으로 $\displaystyle -1$만큼 평행 이동한 것이므로 $\displaystyle c=1$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\sqrt2$이다.

[3.2] $\displaystyle g(x)$는 함수 $\displaystyle f(x)$의 역함수이고 선분 AB의 기울기가 $\displaystyle -1$이므로, 두 점 A와 B는 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{A}(p,t)$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{B}(t,p)$이다. (단, $\displaystyle t>p$)$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{2(p-t)^2}$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt2$이므로 $\displaystyle t=p+1$한편 A은 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점이므로$\displaystyle t=\frac19(p+1)^2+2$에서 $\displaystyle t=\frac19t^2+2$$\displaystyle t^2-9t+18=(t-3)(t-6)=0$이다. 그런데 $\displaystyle \frac52<t<5$이므로 $\displaystyle t=3$이다.

[3.3] $\displaystyle t=3$을 대입하면, $\displaystyle \mathrm{A}(2,3)$이다. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(2,3)$에서의 접선의 기울기는$\displaystyle f^{\prime}(2)=\frac29(2+1)=\frac23$이므로,

접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac23x+\frac53$이다. 따라서 구하는 도형의 넓이는$\displaystyle \int_0^2\left\{\frac19(x+1)^2+2-\frac23x-\frac53\right\}\,dx=\frac8{27}$이다.