자연계열 1-3번

[1.3] 삼각형 PQR에서 코사인 법칙에 의해$\displaystyle \cos(\angle\mathrm{PQR})=\frac{\overline{\mathrm{PQ}}^2+\overline{\mathrm{QR}}^2-\overline{\mathrm{RP}}^2}{2\overline{\mathrm{PQ}}\cdot\overline{\mathrm{QR}}}=\frac15$이고$\displaystyle \sin(\angle\mathrm{PQR})=\sqrt{1-\cos^2(\angle\mathrm{PQR})}=\frac{2\sqrt6}5$이다. 주어진 입체도형을 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $\displaystyle S(x)$라고 하면$\displaystyle S(x)=\frac12\overline{\mathrm{PQ}}\cdot\overline{\mathrm{QR}}\cdot\sin(\angle\mathrm{PQR})=24\sqrt6xe^{2x}$이다.

따라서 입체도형의 부피는$\displaystyle \int_{\frac12}^124\sqrt6xe^{2x}\,dx=24\sqrt6\Biggl[\frac12xe^{2x}-\frac14e^{2x}\Biggr]_{\frac12}^1=6\sqrt6e^2$이다.