자연계열 1-2번

[1.2] $\displaystyle a_1=\frac{1\times6}2=3$이고, $\displaystyle n\geq2$일 때$\displaystyle \begin{aligned}\frac{a_n}n&=\left(a_1+\frac{a_2}2+\cdots+\frac{a_n}n\right)-\left(a_1+\frac{a_2}2+\cdots+\frac{a_{n-1}}{n-1}\right)\\&=\frac{n(n+5)}2-\frac{(n-1)(n+4)}2=n+2\end{aligned}$이므로 $\displaystyle a_n=n(n+2)$이다. 이것은 $\displaystyle n=1$인 경우도 포함하므로$\displaystyle a_n=n(n+2)\quad(n\geq1)$이고

$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+2)}=\frac12\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right)=\frac12\left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n=\lim_{n\to\infty}\frac12\left(\frac32-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)=\frac34$이다.