자연계열 1-3번

[1.3] 주어진 조건으로부터$\displaystyle g(3)=9f(3)-16,\quad f(3)=g(3)$이므로 $\displaystyle g(3)=f(3)=2$이다.

첫 번째 조건식의 양변을 $\displaystyle x$에 관하여 미분하고 $\displaystyle x=3$을 대입하면$\displaystyle g^{\prime}(3)=12+9f^{\prime}(3)$이고, 두 번째 조건으로부터$\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{f(x)-g(x)}{x-3}=\lim_{x\to3}\left(\frac{f(x)-f(3)}{x-3}-\frac{g(x)-g(3)}{x-3}\right)=f^{\prime}(3)-g^{\prime}(3)=-4$이다. 따라서 $\displaystyle g^{\prime}(3)=3$이다.