자연계열 3번

[3.1] 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하면 $\displaystyle x=1$에서 연속이므로,$\displaystyle \lim_{x\to1-}\{a\ln x+6\}=\lim_{x\to1+}\{bx+12\}$로부터 $\displaystyle b=-6$이다.

또, $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle x=1$에서의 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(1)$이 존재하므로,$\displaystyle \lim_{x\to1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1-}\frac{(a\ln x+6)-6}{x-1}=\lim_{t\to0-}\frac{a\ln(1+t)}t=a\ln\left\{\lim_{t\to0-}(1+t)^{\frac1t}\right\}=a$$\displaystyle \lim_{x\to1+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1+}\frac{(-6x+12)-6}{x-1}=-6$로부터 $\displaystyle a=-6$이다.

[3.2] 함수 $\displaystyle h(x)$를 다음과 같이 정의하자.$\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)+c=\begin{cases}-6\ln x+3x^2-6x+6&(0<x\leq1)\\3x^2-12x+12&(x>1)\end{cases}$방정식 $\displaystyle f(x)=g(x)$의 해는 방정식 $\displaystyle h(x)=c$의 해와 같다.한편 $\displaystyle h(x)$도 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하고, $\displaystyle f^{\prime}(1)=-6$, $\displaystyle g^{\prime}(1)=0$이므로$\displaystyle h^{\prime}(1)=f^{\prime}(1)-g^{\prime}(1)=-6$에서$\displaystyle h^{\prime}(x)=\begin{cases}-\frac6x+6x-6&(0<x\leq1)\\6x-12&(x>1)\end{cases}$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle 2$이다.또 $\displaystyle \lim_{x\to0+}h(x)=\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=\infty$이므로 함수 $\displaystyle h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내고, 이를 이용하여 그래프를 그리면 다음과 같다.

따라서 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 $\displaystyle c<0$일 때 $\displaystyle 0$, $\displaystyle c=0$일 때 $\displaystyle 1$, $\displaystyle c>0$일 때 $\displaystyle 2$이다.

[3.3] 방정식 $\displaystyle f(x)=g(x)$가 $\displaystyle c=0$일 때 1개의 실근을 가지므로두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle x=\frac12$로 둘러싸인 도형은 아래 그림과 같다.

두 곡선은 $\displaystyle x=2$에서 접하므로 도형의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac12}^2\{f(x)-g(x)\}\,dx&=\int_{\frac12}^1(-6\ln x+6)\,dx+\int_1^2(-6x+12)\,dx-\int_{\frac12}^2(-3x^2+6x)\,dx\\&=\Biggl[-6x\ln x+12x\Biggr]_{\frac12}^1+\Biggl[-3x^2+12x\Biggr]_1^2-\Biggl[-x^3+3x^2\Biggr]_{\frac12}^2\\&=\frac{45}8-3\ln2\end{aligned}$