자연계열 2번

[2.1] 삼각형 OCP는 이등변삼각형이고 $\displaystyle \angle\mathrm{OPC}=\angle\mathrm{POC}=\frac\pi2-\theta$이므로$\displaystyle \angle\mathrm{OCP}=\pi-\angle\mathrm{POC}-\angle\mathrm{OPC}=2\theta$이다.

[2.2] 부채꼴 OCP의 넓이는$\displaystyle \frac12\times2^2\times2\theta=4\theta$이고, 삼각형 OCP의 넓이는$\displaystyle \frac12\times2\times2\sin2\theta=2\sin2\theta$이므로 $\displaystyle S_1=2(2\theta-\sin2\theta)$이다.

[2.3] 점 P의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 하면$\displaystyle x=2-2\cos\frac\pi3=1,\quad y=2\sin\frac\pi3=\sqrt3$이고, 점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(0,\frac{2\pi}3\right)$이므로 점 P와 점 Q를 지나는 직선의 기울기는$\displaystyle \frac{\sqrt3-\frac{2\pi}3}{1-0}=\sqrt3-\frac{2\pi}3$이다.

[2.4] 점 P의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 하면$\displaystyle x=2-2\cos2\theta,\quad y=2\sin2\theta$이고, 점 Q의 좌표는 $\displaystyle (0,4\theta)$이므로 점 P와 점 Q를 지나는 직선의 기울기는$\displaystyle \frac{2\sin2\theta-4\theta}{2-2\cos2\theta}=\frac{\sin2\theta-2\theta}{1-\cos2\theta}$이다. 또 점 P와 점 Q를 지나는 직선의 방정식은$\displaystyle y=\frac{\sin2\theta-2\theta}{1-\cos2\theta}x+4\theta$이므로 점 R의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=\frac{4\theta(1-\cos2\theta)}{2\theta-\sin2\theta}$이고,$\displaystyle S_2=\frac12\times\frac{4\theta(1-\cos2\theta)}{2\theta-\sin2\theta}\times2\sin2\theta=\frac{4\theta\sin2\theta(1-\cos2\theta)}{2\theta-\sin2\theta}$이다.

따라서$\displaystyle f(\theta)=\frac{S_1\times S_2}{\theta}=8\sin2\theta(1-\cos2\theta)$이다. $\displaystyle f(\theta)$를 $\displaystyle \theta$에 대하여 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=16\cos2\theta(1-\cos2\theta)+16\sin^22\theta=16(1-\cos2\theta)(1+2\cos2\theta)$인데 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$에서 $\displaystyle \cos2\theta\neq1$이므로 $\displaystyle \cos2\theta=-\frac12$, 즉 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0$이다. $\displaystyle f^{\prime}(\theta)$의 부호를 조사하여 $\displaystyle f(\theta)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $\displaystyle f(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$에서 최댓값$\displaystyle f\left(\frac\pi3\right)=8\sin\frac{2\pi}3\left(1-\cos\frac{2\pi}3\right)=6\sqrt3$을 갖는다.