자연계열 1-1번

[1.1]$\displaystyle \sin\theta,\cos\theta$는 이차방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 두 근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면$\displaystyle \sin\theta+\cos\theta=\frac{k+4}k,\quad\sin\theta\cos\theta=\frac{k+2}k$이다. 따라서,$\displaystyle \frac{(k+4)^2}{k^2}=1+\frac{2(k+2)}k$$\displaystyle (k-4)(k+2)=0$이다.

$\displaystyle k=4$일 때, $\displaystyle f(x)=4x^2-8x+6=4(x-1)^2+2>0$이므로 $\displaystyle x$축과의 교점이 없다.$\displaystyle k=-2$일 때, $\displaystyle f(x)=-2x^2-2x$가 되어 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축의 교점의 좌표는 $\displaystyle (0,0),(-1,0)$이다. 그러므로$\displaystyle \sin\theta=0,\cos\theta=-1$일 때 $\displaystyle \theta=\pi$$\displaystyle \sin\theta=-1,\cos\theta=0$일 때 $\displaystyle \theta=\frac32\pi$이다. 따라서 모든 $\displaystyle \theta$값들의 합은 $\displaystyle \pi+\frac32\pi=\frac52\pi$이다.