자연계열 1-3번

[1.3]함수 $\displaystyle f(\theta)$에서 $\displaystyle \tan\theta$를 $\displaystyle x$로 치환한 함수를 $\displaystyle g(x)$라 하면 $\displaystyle -1\leq x\leq1$에서$\displaystyle g(x)=\frac{2+x^2}{2-x}$의 최솟값을 구하면 된다.$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{-x^2+4x+2}{(2-x)^2}$이므로 $\displaystyle x=2\pm\sqrt6$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$이다.

$\displaystyle 2+\sqrt6>1$이므로 $\displaystyle g(-1),g(2-\sqrt6),g(1)$의 값 중 가장 작은 값이 함수 $\displaystyle g(x)$의 최솟값이다.$\displaystyle g(-1)=1,\quad g(2-\sqrt6)=2(\sqrt6-2)=2\sqrt6-4,\quad g(1)=3$이므로 구하는 최솟값은 $\displaystyle 2\sqrt6-4$이다.