자연계열 2번

[2.1]점 A를 $\displaystyle x$축에 대하여 대칭이동하여 얻은 점 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}(t,-\sqrt t)$와 점 B를 지나는 직선의 $\displaystyle x$절편이 점 P의 $\displaystyle x$좌표이다. 이 직선의 방정식은$\displaystyle y=\frac1{2\sqrt t}(x-t)-\sqrt t=\frac1{2\sqrt t}x-\frac32\sqrt t$

이므로, $\displaystyle y=0$을 대입하면 점 P의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 3t$이다.

[2.2]$\displaystyle f(x)=\sqrt x$라 놓으면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1{2\sqrt x}$이므로 직선 $\displaystyle l_1$의 방정식과 직선 $\displaystyle l_2$의 방정식은 각각$\displaystyle y=\frac1{2\sqrt t}x+\frac{\sqrt t}2,\quad y=\frac1{6\sqrt t}x+\frac32\sqrt t$이다. 이 두 직선의 방정식을 연립하면 점 Q의 좌표는 $\displaystyle (3t,2\sqrt t)$이다.

삼각형 PQO는 각 OPQ가 직각인 직각삼각형이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=2\sqrt t$이므로$\displaystyle \tan(\angle\mathrm{PQO})=\frac{\overline{\mathrm{OP}}}{\overline{\mathrm{PQ}}}=\frac{3t}{2\sqrt t}=\frac32\sqrt t$이다.

[2.3]$\displaystyle \cos\theta+\frac1{\cos\theta}=-\frac{10}3$이고, $\displaystyle \cos\theta\times\frac1{\cos\theta}=1$이므로 $\displaystyle \cos\theta$와 $\displaystyle \frac1{\cos\theta}$을 두 근으로 하고 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 이차방정식은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle x^2+\frac{10}3x+1=0$이다.$\displaystyle x^2+\frac{10}3x+1=\left(x+\frac13\right)(x+3)=0$이므로 이차방정식의 해는 $\displaystyle x=-3,-\frac13$이고, $\displaystyle -1\leq\cos\theta\leq1$이므로 $\displaystyle \cos\theta=-\frac13$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\sqrt{t+4t^2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=\sqrt{9t+36t^2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{4t+64t^2}$이므로 코사인 법칙에 의해$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{AP}}^2+\overline{\mathrm{BP}}^2-\overline{\mathrm{AB}}^2}{2\times\overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{BP}}}=\frac{1-4t}{1+4t}=-\frac13$이다.

마지막 등식을 풀면 $\displaystyle t=\frac12$이다.